Áp dụng định lý sin để tính cạnh hoặc góc – Giải thích chi tiết cho lớp 10

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Áp dụng định lý sin để tính cạnh hoặc góc” là một chủ đề cơ bản trong chương trình Toán lớp 10, thuộc chương Hệ thức lượng trong tam giác. Định lý sin là công cụ mạnh mẽ giúp ta tính toán các cạnh và góc chưa biết trong tam giác bất kỳ (không chỉ tam giác vuông), mở rộng ứng dụng của hình học trong học tập và thực tiễn như: đo khoảng cách, giải các bài toán thực tế liên quan đến đo đạc, kỹ thuật, kiến trúc, v.v.

Nắm vững kiến thức này không chỉ giúp các em thành thạo hơn khi giải hình học phẳng mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các môn học cao hơn và giải quyết những vấn đề thực tiễn. Đặc biệt, các em có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập Áp dụng định lý sin để tính cạnh hoặc góc miễn phí ngay tại đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định lý sin phát biểu rằng: Trong một tam giác bất kỳ $ABC$, tỷ số giữa một cạnh với sin góc đối của nó là như nhau và bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

• Trong đó:$a$,$b$,$c$là các cạnh đối diện với các góc$A$,$B$,$C$của tam giác;$R$là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

• Điều kiện áp dụng: Chỉ sử dụng cho tam giác (không phân biệt nhọn, tù hay vuông), đã biết:

- Hai góc và một cạnh (trường hợp ASA hoặc AAS)

- Hai cạnh và một góc không kẹp giữa (trường hợp SSA), lưu ý đây là trường hợp có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm (tam giác có thể không xác định hoặc có hai tam giác khác nhau cùng thỏa mãn).

2.2 Công thức và quy tắc

• • Công thức thuộc lòng: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

• • Cách ghi nhớ: Luôn là "Cạnh đối diện" trên "sin góc đối diện".

• • Điều kiện sử dụng: Cẩn thận trong trường hợp SSA (hai cạnh một góc không kẹp) vì có thể xảy ra 2 nghiệm hoặc vô nghiệm!

• • Biến thể: Có thể biến đổi linh hoạt để tính cạnh hoặc góc tuỳ theo dữ kiện.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho tam giác$ABC$biết$A = 30^\circ$,$B = 45^\circ$,$a = 6$cm. Tính cạnh$b$.

Giải bước một:

Tính góc$C$:

$C = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ$

Áp dụng định lý sin:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Thay số:

$\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

Giải tiếp:

$b = \frac{6 \times \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{6 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6 \sqrt{2} \approx 8,49\ \text{cm}$

Lưu ý: Sử dụng đúng đơn vị và kiểm tra lại góc đã đủ dữ kiện để tính.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho tam giác$ABC$có $a = 7$cm,$b = 9$cm và $A = 35^\circ$. Tìm các góc$B$có thể của tam giác.

Áp dụng định lý sin:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \rightarrow \sin B = \frac{b \sin A}{a}$

Thay số:

$\sin B = \frac{9 \cdot \sin 35^\circ}{7} \approx \frac{9 \cdot 0.574}{7} \approx 0.738$

Do $0 < \sin B < 1$, nên có hai nghiệm góc:

$B_2 = 180^\circ - 47.6^\circ = 132.4^\circ$

Tuy nhiên, cần kiểm tra tổng ba góc có hợp lý không:

Nếu$A + B_2 \geq 180^\circ$thì loại bỏ nghiệm$B_2$. Cụ thể:$35^\circ + 132.4^\circ = 167.4^\circ < 180^\circ$, nên cả hai nghiệm đều chấp nhận được.

Lưu ý: Trường hợp SSA có thể có 0, 1, hoặc 2 nghiệm cho tam giác!

4. Các trường hợp đặc biệt

• • Khi $\sin B > 1$hoặc$< 0$: Không tồn tại tam giác thỏa mãn.

• • Khi áp dụng SSA, có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm: cần vẽ hình minh họa hoặc xét tổng các góc để tránh sai lầm.

• • Mối liên hệ với định lý cosin: Khi biết hai cạnh kẹp góc, ưu tiên dùng định lý cosin thay vì định lý sin.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• • Hiểu sai định nghĩa cạnh đối, góc đối.

• • Nhầm lẫn định lý sin và cosin.

• • Phân biệt: Định lý sin dành cho dữ kiện hai góc hoặc hai cạnh, không kẹp giữa.

5.2 Lỗi về tính toán

• • Nhập sai số liệu (độ, radian).

• • Tính sai sin của góc.

• • Quên kiểm tra tổng ba góc trong tam giác.

• • Giải pháp: Luôn kiểm tra lại bằng cách thay kết quả vào công thức ban đầu hoặc kiểm tra tổng các góc.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể tiếp cận

42.226+ bài tập Áp dụng định lý sin để tính cạnh hoặc góc miễn phí

ngay mà không cần đăng ký tài khoản – luyện tập không giới hạn, theo dõi tiến độ tự động, nâng cao kỹ năng giải toán của mình!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• • Định lý sin dùng để tính cạnh hoặc góc trong tam giác bất kỳ khi biết hai góc và một cạnh hoặc hai cạnh một góc không kẹp giữa.

• • Công thức cần nhớ: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

• • Khi trường hợp SSA, nhớ kiểm tra số nghiệm hợp lý.

• • Checklist khi làm bài: xác định đúng các cạnh/góc đối, kiểm tra điều kiện áp dụng, kiểm tra tổng góc, đơn vị góc, kết quả.

• • Ôn tập đều đặn, luyện nhiều bài tập thực hành.