Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai – Giải thích chi tiết, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai” là chủ đề khởi đầu quan trọng của chương bất phương trình bậc hai trong chương trình Toán lớp 10. Hiểu và xác định đúng dấu của tam thức bậc hai giúp học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình và ứng dụng giải bài toán thực tế như tìm điều kiện nghiệm, xác định miền giá trị,... Nắm chắc chủ đề này, các em sẽ tự tin vượt qua nhiều dạng toán nâng cao hơn.

Việc xác định dấu của tam thức không chỉ giúp giải được các bài toán ở trường mà còn ứng dụng trong nhiều ngành như vật lý, kinh tế (xét lãi/lỗ, cực đại, cực tiểu của hàm số,...).

Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai ở cuối bài viết!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Tam thức bậc hai có dạng tổng quát:$f(x) = ax^2 + bx + c$, với$a \neq 0$.

- Dấu của$f(x)$phụ thuộc vào:

• () Giá trị của$a$(dương/âm);
• () Số nghiệm của phương trình$ax^2 + bx + c = 0$(phụ thuộc vào$riangle = b^2 - 4ac$);

Các định lý và tính chất chính:

• - Nếu$\triangle < 0$, tam thức luôn cùng dấu với$a$với mọi$x$.
• - Nếu$\triangle = 0$, tam thức cùng dấu với$a$, chỉ duy nhất$x = -\frac{b}{2a}$làm$f(x) = 0$.
• - Nếu$\triangle > 0$, tam thức đổi dấu tại các nghiệm$x_1, x_2$($x_1 < x_2$):
  -$f(x)$cùng dấu với$a$trên các khoảng$(-\infty; x_1)$và $(x_2; +\infty)$;
  -$f(x)$trái dấu với$a$trên$(x_1; x_2)$.

2.2 Công thức và quy tắc

• - Công thức delta:$\triangle = b^2 - 4ac$.
• - Công thức nghiệm: Nếu $\triangle > 0$, hai nghiệm $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\triangle}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\triangle}}{2a}$. Gọi $x_1 < x_2$.
• - Quy tắc xét dấu: Vẽ trục số, xác định vị trí $x_1, x_2$, dựa vào dấu của$a$ để điền dấu$+$hoặc$-$trên từng khoảng.
• - Cách ghi nhớ: Luôn bắt đầu từ ngoài cùng (chiều vô cùng) cùng dấu với$a$.

Điều kiện sử dụng: Áp dụng cho mọi tam thức bậc hai ($a \neq 0$). Lưu ý phân biệt với các dạng đặc biệt (ví dụ $a = 0$, chuyển thành bậc nhất).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Xét$f(x) = 2x^2 - 4x + 3$. Tìm dấu của$f(x)$.

Giải từng bước:

1. Tính$\triangle = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 < 0$.
2. Vì $\triangle < 0$,$f(x)$luôn cùng dấu với$a = 2 > 0$.
3. Kết luận:$f(x) > 0$với mọi$x \in \mathbb{R}$.

Lưu ý: Khi$\triangle < 0$, không tồn tại nghiệm, dấu không đổi trên toàn trục số.

3.2 Ví dụ nâng cao

Xét$f(x) = -x^2 + 5x - 6$. Xác định dấu của$f(x)$.

1. Tính$\triangle = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = 25 - 24 = 1 > 0$.
2. Tìm nghiệm:$x_1 = \frac{-5 - 1}{-2} = 3$,$x_2 = \frac{-5 + 1}{-2} = 2$.
3. Xếp lại:$x_1 = 2$,$x_2 = 3$(do$x_1 < x_2$).
4. Vẽ trục số, điền dấu dựa vào$a = -1 < 0$. Vì là bậc chẵn, dấu tam thức ngoài khoảng$(x_1; x_2)$trái dấu với$a$:
   -$f(x) < 0$với$x < 2$hoặc$x > 3$
   -$f(x) > 0$với$2 < x < 3$

Kỹ thuật giải nhanh: Sau khi tìm nghiệm, luôn bắt đầu ở $x \rightarrow -\infty$cùng dấu với$a$, đối với mỗi nghiệm đi qua thì đổi dấu.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$a = 0$thì tam thức thành bậc nhất, xét dấu như hàm bậc nhất.

- Nếu nghiệm kép ($\triangle = 0$), hàm đổi dấu duy nhất tại$x_0 = -\frac{b}{2a}$, còn lại cùng dấu$a$.

- Liên hệ với đạo hàm: Dấu của tam thức bậc hai cũng liên quan đến việc xét dấu của đạo hàm để tìm cực trị hàm số.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• - Nhầm dấu của hệ số $a$dẫn đến xác định sai vùng âm/dương.
• - Nhầm lẫn giữa các khoảng nghiệm khi$x_1, x_2$không sắp xếp đúng thứ tự.

5.2 Lỗi về tính toán

• - Tính nhầm$\triangle$, nghiệm, đổi dấu sai khi di chuyển qua nghiệm.
• - Quên không kiểm tra trường hợp đặc biệt (không có nghiệm, hoặc nghiệm kép).
• - Cách kiểm tra kết quả: Thay giá trị $x$ đại diện vào từng khoảng để xác định lại dấu.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Thực hành ngay hơn 42.226+ bài tập Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai miễn phí:

• - Không cần đăng ký tài khoản
• - Bắt đầu luyện tập ngay lập tức
• - Theo dõi được tiến độ và cải thiện kỹ năng từng ngày

👉 Hãy tận dụng kho bài tập luyện tập Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai miễn phí từ hôm nay!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Ghi nhớ công thức delta và quy tắc đổi dấu qua nghiệm.

• - Định hướng giải: Luôn tính$\triangle$trước, xác định dấu$a$, tìm nghiệm (nếu cần).
• - Checklist trước khi làm bài:
  1/ Kiểm tra dạng bậc hai,
  2/ Tính$\triangle$,
  3/ Tính nghiệm,
  4/ Xét dấu theo$a$và từng khoảng,
  5/ Kiểm tra lại bằng giá trị mẫu ở các khoảng.
• - Ôn tập hiệu quả: Luyện giải đề đa dạng, làm lại các bài sai, soát lại thao tác đổi dấu.

Chúc các em học tốt! Đừng quên luyện tập Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai miễn phí để nắm chắc kiến thức nhé!