Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° – Giải thích chi tiết và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° là kiến thức nền tảng mở đầu chương Hệ thức lượng trong tam giác trong chương trình Toán lớp 10. Hiểu sâu về giá trị lượng giác giúp bạn giải nhanh các bài toán tam giác, tính độ dài, chiều cao, khoảng cách, cũng như các ứng dụng trong đo đạc thực tế và khoa học kỹ thuật.

Học giỏi phần này giúp bạn nâng cao khả năng tư duy hình học không gian, làm chủ nhiều dạng bài tập quan trọng trong kiểm tra và thi cử. Đặc biệt, bạn còn có cơ hội luyện tập với 43.056+ bài tập miễn phí để củng cố và kiểm tra trình độ của bản thân!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Khái niệm góc và cung lượng giác: Góc từ 0° đến 180° là góc ở nửa trên mặt phẳng, tương ứng với cung tròn lượng giác nửa đầu.
• Các giá trị lượng giác của một góc$α$gồm:$\sin α$,$\cos α$,$\tan α$,$\cot α$.
• Trên mặt phẳng tọa độ, với điểm$M$trên đường tròn lượng giác bán kính$R = 1$và tạo với trục$Ox$một góc$α$:
• $\sin α$là tung độ của$M$,$\cos α$là hoành độ của$M$
• Điều kiện áp dụng: Góc$α$thỏa mãn$0° \leq α \leq 180°$, hoặc$0 \leq α \leq π$(rad).

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức cần thuộc lòng:

• $\sin α = \frac{đối}{kề}$(trong tam giác vuông), hoặc tung độ điểm$M$ trên đường tròn lượng giác bán kính 1.
• \cos α = \frac{kề}{huyền} (tam giác vuông), hoặc hoành độ điểm $M$ .
• $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$, $\cot α = \frac{\cos α}{\sin α}$(với$\cos α ≠ 0$, $\sin α ≠ 0$)
• Hệ thức cơ bản: $\sin^2 α + \cos^2 α = 1$
• Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°

Cách ghi nhớ công thức: Sử dụng hình tròn lượng giác, bảng tóm tắt và luyện tập bài tập thực tế để tránh nhầm lẫn. Ví dụ, ghi nhớ cặp đối xứng $\sin(180° - α) = \sin α$, $\cos(180° - α) = -\cos α$, v.v.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho góc $α = 60°$, hãy tính $\sin α$, $\cos α$, $\tan α$.

Lời giải từng bước:

• Tra bảng lượng giác hoặc ghi nhớ: $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$.
• $\tan 60° = \frac{\sin 60°}{\cos 60°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Lưu ý: Khi sử dụng bảng giá trị lượng giác, phải đảm bảo thuộc chính xác các giá trị chuẩn các góc đặc biệt.

3.2 Ví dụ nâng cao

Tính $\sin 120°$, $\cos 135°$, $\tan 150°$.

Giải:

• $\sin 120° = \sin (180°-60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 135° = \cos (180°-45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tan 150° = \tan (180°-30°) = -\tan 30° = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Khi giải nhanh dạng này, hãy nhận diện góc phụ (góc tạo thành với trục Ox) và áp dụng đúng quy tắc dấu trong từng cung phần tư.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Góc 0°, 90°, 180°, các giá trị lượng giác có đặc điểm riêng:
• $\sin 0° = 0$, $\sin 90° = 1$, $\sin 180° = 0$
• $\cos 0° = 1$,$\cos 90° = 0$,$\cos 180° = -1$
• $\tan 90°$và $\tan 180°$không xác định (chia cho 0)

Chú ý xử lý ngoại lệ khi tính các giá trị tại các góc đặc biệt để tránh lỗi chia cho 0 hoặc xác định sai dấu giá trị.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa giá trị lượng giác của góc lớn hơn 90° và nhỏ hơn 90° (về dấu).
• Quên dấu âm với$\cos α$hoặc$\tan α$khi$α > 90°$.
• Dễ nhầm giữa $\sin (180° - α)$và $\cos (180° - α)$. Nên nhớ bảng đối xứng giá trị và quy tắc dấu.

5.2 Lỗi về tính toán

• Bấm máy tính nhầm chế độ độ/radian.
• Tính nhầm các giá trị phân số, căn thức.
• Không kiểm tra điều kiện xác định của$\tan α$,$\cot α$.
• Hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách thay vào phương trình $\sin^2 α + \cos^2 α = 1$ để đảm bảo tính đúng.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 43.056+ bài tập Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° miễn phí ngay trên nền tảng của chúng tôi, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nhớ bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt.
• Nắm vững các công thức đối xứng, điều kiện xác định các giá trị lượng giác.
• Tập bấm máy tính đúng chế độ và kiểm tra kết quả qua hệ thức cơ bản.
• Checklist trước khi làm bài: Góc có nằm trong (0°, 180°)? Giá trị dấu ra sao? Áp dụng đúng công thức chưa?
• Ôn luyện đều đặn hàng ngày và thử sức với bài tập thực tế để nâng cao tốc độ, độ chính xác.