Bài 1. Không gian mẫu và biến cố - Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu chung về Không gian mẫu và biến cố

Khi học xác suất, hai khái niệm quan trọng đầu tiên mà chúng ta cần nắm vững là không gian mẫu và biến cố. Đây là nền tảng để xây dựng mọi khái niệm và phép tính trong xác suất. Nắm chắc cách xác định không gian mẫu và biến cố giúp học sinh hiểu được bản chất các bài toán xác suất, đồng thời ứng dụng tốt trong thực tế cũng như trong các kỳ thi.

2. Định nghĩa chính xác về không gian mẫu và biến cố

a) Không gian mẫu

Không gian mẫu (ký hiệu là $\Omega$) là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên.

b) Biến cố

Biến cố (ký hiệu là $A$,$B$,$C$,...) là một tập con của không gian mẫu$\Omega$. Biến cố gồm một hoặc nhiều kết quả của phép thử.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tung một đồng xu

- Phép thử: Tung một đồng xu.
- Không gian mẫu:$\Omega = \{S, N\}$trong đó $S$là “sấp”,$N$là “ngửa”.
- Biến cố: A = “xuất hiện mặt sấp”$\Rightarrow A = \{S\}$.

Ví dụ 2: Tung một con xúc xắc

- Phép thử: Tung một con xúc xắc.
- Không gian mẫu:$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
- Biến cố: B = “xuất hiện số chẵn”$\Rightarrow B = \{2, 4, 6\}$.

Ví dụ 3: Bốc thăm một lá bài từ bộ bài 52 lá

- Không gian mẫu:$\Omega$là tập hợp tất cả 52 lá bài.
- Biến cố: C = “bốc được lá át”$\Rightarrow C$gồm 4 kết quả là: át cơ, át rô, át chuồn, át bích.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Biến cố chắc chắn: Là biến cố gồm tất cả các kết quả của$<br />\Omega$(ký hiệu$<br />A = <br />\Omega$). Khi đó, biến cố luôn xảy ra.
- Biến cố không thể: Là biến cố không chứa kết quả nào trong$\Omega$(ký hiệu$A = \varnothing$). Biến cố này không bao giờ xảy ra.
- Hai biến cố $A$và $B$gọi là xung khắc (không giao nhau) nếu$A \cap B = \varnothing$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Các khái niệm về tập hợp như: phần tử, tập con, giao, hợp, hiệu... thường dùng khi nói về không gian mẫu và biến cố. Từ đây, các phép toán trên biến cố như $A \cup B$,$A \cap B$,$A^c$(biến cố đối) được định nghĩa hoàn toàn dựa trên các phép toán tập hợp.

$A\cup B$ , giao $A\cap B$ , hiệu $A\setminus B$ và phần bù $A^c$ , các vùng tương ứng được tô màu." title="Hình minh họa: Minh họa không gian mẫu S với hai biến cố A và B qua các phép toán tập hợp: hợp $A\cup B$ , giao $A\cap B$ , hiệu $A\setminus B$ và phần bù $A^c$ , các vùng tương ứng được tô màu." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

- Bài tập 1: Tung hai đồng xu, xác định không gian mẫu và các biến cố sau: A = “cả hai đều ra sấp”, B = “có ít nhất một mặt ngửa”.

Giải: Không gian mẫu là:
$<br />\Omega = \{(S, S), (S, N), (N, S), (N, N)\}<br />$
- A =$<br />\{(S, S)\}$
- B =$\{(S, N), (N, S), (N, N)\}$

- Bài tập 2: Rút ngẫu nhiên một số từ 1 đến 10, xác định biến cố C = “số đó là số nguyên tố”.

Giải:
$<br />\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}<br />$
Các số nguyên tố trong đoạn này là 2, 3, 5, 7.
Vậy$C = \{2, 3, 5, 7\}$.

- Bài tập 3: Một hộp có 5 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi ra khỏi hộp. Hãy xác định không gian mẫu và các biến cố sau: D = “lấy được bi đỏ”, E = “lấy được bi xanh”.

Giải:
Không gian mẫu là:$\Omega = \{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, D_1, D_2, D_3\}$, trong đó $X_i$là bi xanh thứ $i$,$D_j$là bi đỏ thứ $j$.
- D = \{D_1, D_2, D_3\}
- E = \{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5\}

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không xác định đúng tất cả các phần tử của không gian mẫu$\Omega$. Luôn liệt kê đầy đủ các kết quả có thể xảy ra.
- Nhầm lẫn giữa biến cố và phần tử của không gian mẫu (biến cố là tập các kết quả, không phải một kết quả đơn lẻ).
- Quên xét các trường hợp đặc biệt: biến cố chắc chắn, biến cố không thể, các phép toán trên biến cố (giao, hợp, đối…).

8. Tóm tắt và các điểm quan trọng cần nhớ

- Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên.
- Biến cố là tập con của không gian mẫu, bao gồm một hoặc nhiều kết quả cụ thể.
- Phải biết xác định đúng không gian mẫu, biến cố và vận dụng các phép toán tập hợp để giải các bài toán liên quan đến xác suất.