1. Giới thiệu về không gian mẫu và biến cố trong toán học

Trong xác suất, hai khái niệm then chốt bắt đầu là 'không gian mẫu' và 'biến cố'. Đây là nền tảng để các bạn học sinh lớp 10 làm quen với xác suất và các phương pháp so sánh khả năng xảy ra của các sự kiện trong cuộc sống cũng như trong các bài toán.

Việc hiểu rõ không gian mẫu và biến cố giúp bạn thiết lập mô hình xác suất đúng, là bước căn bản nhất trước khi áp dụng các công thức hay giải các bài toán xác suất phức tạp hơn.

2. Định nghĩa không gian mẫu và biến cố

• Không gian mẫu:

Không gian mẫu (ký hiệu là $oldsymbol{ext{S}}$hoặc$oldsymbol{ext{Ω}}$) là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên. Mỗi phần tử trong không gian mẫu được gọi là một kết quả hay điểm mẫu.

• Biến cố:

Biến cố là một tập con của không gian mẫu, gồm một hoặc nhiều kết quả của phép thử đó thỏa mãn điều kiện nhất định. Nếu phép thử xảy ra kết quả thuộc biến cố A, ta nói biến cố A xảy ra.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tung một đồng xu

Không gian mẫu: Khi tung một đồng xu, chỉ có hai khả năng: sấp (S) hoặc ngửa (N). Do đó, không gian mẫu là:

$S = \{S, N\}$

Biến cố: Giả sử biến cố A là 'xu hiện mặt sấp'. Khi đó:

$A = \{S\}$

Nếu mặt ra là 'sấp', biến cố A xảy ra. Nếu ra 'ngửa', biến cố A không xảy ra.

Ví dụ 2: Tung một con xúc xắc

Không gian mẫu: Khi tung một con xúc xắc cân đối, có 6 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5, 6):

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Biến cố: Biến cố B là 'số chẵn xuất hiện'.

$B = \{2, 4, 6\}$

Nếu kết quả ra là 2, 4 hoặc 6 thì biến cố B xảy ra; nếu ra 1, 3 hoặc 5 thì biến cố B không xảy ra.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xảy ra với mọi kết quả. Trong không gian mẫu$S$, biến cố chắc chắn chính là $S$.

- Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra, ký hiệu là $\varnothing$(tập rỗng).

- Hai biến cố độc lập: Hai biến cố độc lập nếu việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia.

- Mỗi phép thử, cần xác định đúng không gian mẫu, đảm bảo liệt kê đủ tất cả các khả năng xảy ra.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Không gian mẫu và biến cố là nền tảng cho các quy tắc xác suất sau như: tính xác suất, lập bảng xác suất, kiểm tra độc lập, xác suất có điều kiện...

- Các phép toán trên tập hợp (hợp, giao, hiệu) được sử dụng để kết hợp các biến cố.

- Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu, liên quan tới kiến thức về tập hợp ở các lớp trước.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tung hai đồng xu một lúc. Hãy xác định:

(a) Không gian mẫu
(b) Biến cố A: "cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt sấp"

Giải:
(a) Mỗi đồng xu có 2 kết quả: S và N. Khi tung hai đồng xu ta có:

$S = \{(S,S); (S,N); (N,S); (N,N)\}$

(b) Biến cố A: 'cả hai đều sấp' nghĩa là kết quả là (S,S).
Do đó,$A = \{(S,S)\}$

Bài 2: Lấy ngẫu nhiên một thẻ bài từ bộ bài gồm các số 1 đến 10. Tìm không gian mẫu, biến cố B: "Lấy được số chẵn".

Giải:
Không gian mẫu:$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$;
Biến cố B:$B=\{2,4,6,8,10\}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên liệt kê đầy đủ các phần tử của không gian mẫu (thiếu trường hợp).

- Nhầm lẫn giữa biến cố và điểm mẫu: biến cố có thể có nhiều phần tử, điểm mẫu là một phần tử riêng lẻ.

- Nhầm lẫn giữa biến cố chắc chắn và biến cố không thể.

Cách tránh: Vẽ sơ đồ, liệt kê rõ ràng. Đọc kỹ yêu cầu đề bài. Nếu được, kiểm tra lại bằng các phép đếm hoặc phương pháp tổ hợp.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Không gian mẫu là toàn bộ các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.

- Biến cố là một tập con của không gian mẫu, thường biểu diễn một điều kiện hoặc sự kiện cụ thể.

- Phải xác định đúng và đủ không gian mẫu trước khi làm các bài toán xác suất.

- Biến cố chắc chắn là $S$, biến cố không thể là $\varnothing$.

Nắm vững hai khái niệm này sẽ giúp bạn tiếp cận các bài toán xác suất hiệu quả và chính xác hơn.