Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn: Lý thuyết, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn là một kiến thức trọng tâm trong chương trình toán học lớp 10, thuộc chương Đại số. Đây là nền tảng giúp học sinh phát triển tư duy logic và rèn luyện kỹ năng giải toán cho nhiều dạng toán từ cơ bản đến nâng cao.

Hiểu rõ khái niệm này giúp các em áp dụng để giải quyết những bài toán thực tế như xác định điều kiện tối ưu, giải quyết các vấn đề tối đa/tối thiểu, ước lượng các giá trị phù hợp trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Việc nắm chắc giải bất phương trình bậc hai một ẩn còn là bước đệm quan trọng khi học các kiến thức nâng cao hơn như bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bất phương trình hệ, hoặc các dạng toán ứng dụng trong đại số, giải tích cũng như luyện thi THPT Quốc gia.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với hàng trăm bài tập đa dạng tại mục "luyện tập Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn miễn phí" ngay trên website này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

### 2.1 Lý thuyết cơ bản

- Bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát:$ax^2 + bx + c \ \text{(}a \ne 0\text{)}$kèm theo các dấu$<, >, \leq, \geq$.

- Giải bất phương trình chính là tìm tất cả giá trị $x$thỏa mãn điều kiện đã cho.

- Định nghĩa nghiệm của bất phương trình: Là tất cả các giá trị $x$sao cho khi thay vào bất phương trình, biểu thức trở thành đúng.

- Các định lý: Xét dấu tam thức bậc hai, ứng với các dấu của$a$, dấu của biệt thức$riangle = b^2 - 4ac$.

- Điều kiện áp dụng:$a \ne 0$(là bậc hai), phương trình tương ứng phải tìm được nghiệm hoặc xác định được dấu biểu thức.

### 2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức nghiệm phương trình bậc hai: $x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}$

- Dấu tam thức bậc hai$ax^2+bx+c$phụ thuộc vào:$a$, dấu của $\Delta = b^2 - 4ac$.

- Nếu$\Delta > 0$: Tam thức có hai nghiệm phân biệt$x_1 < x_2$. Khi đó:
- Nếu$a > 0$:$ax^2 + bx + c > 0$khi$x < x_1$hoặc$x > x_2$(ngoài hai nghiệm);$< 0$khi$x_1 < x < x_2$(giữa hai nghiệm)
- Nếu$a < 0$: Dấu ngược lại

- Nếu$\Delta = 0$: Tam thức có nghiệm kép$x_0$.
- Nếu$a > 0$:$ax^2 + bx + c > 0$với mọi$x \neq x_0$,$= 0$khi$x = x_0$.
- Nếu$a < 0$: Dấu ngược lại.

- Nếu$\Delta < 0$: Tam thức không có nghiệm thực.
- Nếu$a > 0$:$ax^2 + bx + c > 0$với mọi$x \in \mathbb{R}$.
- Nếu$a < 0$:$ax^2 + bx + c < 0$với mọi$x \in \mathbb{R}$.

- Cách ghi nhớ: Vẽ bảng xét dấu hoặc đồ thị parabol là cách hữu ích để ghi nhớ và xác định miền nghiệm chính xác.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

### 3.1 Ví dụ cơ bản

Giải bất phương trình:$x^2 - 5x + 6 > 0$

- Bước 1: Giải phương trình bậc hai$x^2 - 5x + 6 = 0$.

-$riangle = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
- Có hai nghiệm:$x_1 = 2$,$x_2 = 3$

- Bước 2: Xét dấu: Hệ số $a = 1 > 0$(parabol hướng lên trên)

-$x^2 - 5x + 6 > 0$khi$x < 2$hoặc$x > 3$

Vậy nghiệm bất phương trình là:

- Lưu ý: Đối với dấu$<$hoặc$>$, loại nghiệm tại hai đầu$x_1, x_2$; với$\leq$,$\geq$thì lấy cả nghiệm.

### 3.2 Ví dụ nâng cao

Giải bất phương trình:$-2x^2 + 3x + 5 \leq 0$

- Đổi dấu và đổi hướng bất phương trình (nếu muốn làm theo dạng tiêu chuẩn):
$-2x^2 + 3x + 5 \leq 0$\Leftrightarrow$2x^2 - 3x - 5 \geq 0$
- Giải phương trình:$2x^2 - 3x - 5 = 0$
-$\Delta = 9 + 40 = 49$
-$x_1 = \frac{3 - 7}{4} = -1$,$x_2 = \frac{3 + 7}{4} = 2.5$
- Hệ số $a = 2 > 0$
-$2x^2 - 3x - 5 \geq 0$khi$x \leq -1$hoặc$x \geq 2.5$

Vậy nghiệm là $x \leq -1$hoặc$x \geq 2.5$.

4. Các trường hợp đặc biệt

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

### 5.1 Lỗi về khái niệm

### 5.2 Lỗi về tính toán

6. Luyện tập miễn phí ngay

Click vào mục "bài tập Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn miễn phí" để ôn luyện với hàng trăm bài tập đa dạng. Học sinh không cần đăng ký, có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức, đồng thời theo dõi tiến độ và kết quả học tập trực tuyến.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Nắm chắc dạng tổng quát và phương pháp giải bất phương trình bậc hai một ẩn.
- Xác định đúng dấu của hệ số $a$, phân tích kỹ bảng xét dấu và miền nghiệm.
- Luyện tập nhiều dạng để tránh lỗi và nhớ lâu các quy tắc.
- Trước khi làm bài: kiểm tra bảng xét dấu, kiểm tra lại các nghiệm tìm được.
- Lập kế hoạch học tập: ôn lý thuyết, luyện bài tập, xem lại lỗi thường gặp để cải thiện kỹ năng.