1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Trong chương trình Toán lớp 10, đường tròn là một đối tượng hình học cơ bản, xuất hiện nhiều trong các bài toán hình học phẳng và đại số. Việc hiểu và nắm chắc kiến thức về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ không chỉ giúp giải quyết các bài toán hình học mà còn tạo nền tảng vững chắc để học sinh tiếp cận các chủ đề phức tạp hơn như elip, parabol, hệ phương trình, bất đẳng thức và ứng dụng thực tiễn trong vật lý, kỹ thuật. Đường tròn cũng là một phần không thể thiếu trong các kỳ thi quan trọng như thi vào lớp 10, THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng có khoảng cách đến một điểm cố định bằng một hằng số không âm.

Cho điểm$O(a,b)$là tâm và $R$là bán kính với$R > 0$, phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có dạng:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Trong đó:

• $O(a, b)$: tọa độ tâm đường tròn.
• $R$: bán kính ($R > 0$).

3. Giải thích từng bước và ví dụ minh họa

a) Cách lập phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính

Bước 1: Xác định tọa độ tâm$O(a, b)$và bán kính$R$.

Bước 2: Thay trực tiếp vào công thức:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn tâm$O(2,-1)$và bán kính$R = 5$.

Giải:

- Tâm:$O(2,-1)$, bán kính$R = 5$.
- Phương trình:

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$

b) Lập phương trình đường tròn biết tâm và một điểm trên đường tròn

Giả sử đường tròn có tâm $O(a, b)$và điểm$M(x_1, y_1)$nằm trên đường tròn. Bán kính$R = OM = \sqrt{(x_1-a)^2 + (y_1-b)^2}$.

Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn tâm$O(1,2)$ đi qua điểm$A(4,6)$.

Giải:
- $R = OA = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
- Phương trình: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu tâm$O$trùng với gốc tọa độ $(0,0)$, phương trình đường tròn rút gọn thành:$x^2 + y^2 = R^2$
• Nếu biết$3$ điểm$A, B, C$không thẳng hàng, luôn tồn tại duy nhất một đường tròn đi qua cả $3$ điểm.
• Bán kính$R$luôn dương (không bao giờ nhận giá trị âm hay$0$).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Đường tròn liên hệ mật thiết với các hình học khác như hình elip, parabol, hyperbol (chúng đều thuộc loại hình bậc hai). Ngoài ra, phương trình đường tròn còn có thể được viết dưới dạng phương trình tổng quát:

$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

Điều kiện để đây là phương trình một đường tròn là:$A^2 + B^2 - 4C > 0$.

Quy về dạng chuẩn bằng cách:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - R^2 = 0$

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Lập phương trình đường tròn tâm$O(0, 0)$, bán kính$3$.

Giải:
- Áp dụng công thức:$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 9$
- Hay:$x^2 + y^2 = 9$

Bài 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

Giải:
- Viết lại phương trình:
$x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12$
- Hoàn thành bình phương:
\[\begin{align*}
x^2 - 4x & = (x-2)^2 - 4 \\
y^2 + 6y & = (y+3)^2 - 9
\\\end{align*}\]
Thay vào:
$(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 = 12$
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$
=> Tâm$O(2, -3)$, bán kính$R = 5$.

Bài 3: Lập phương trình đường tròn qua 3 điểm$A(0,1)$,$B(2,-1)$,$C(-2,-1)$.

Giải:
Giả sử phương trình đường tròn:$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$.
Thay lần lượt 3 điểm vào, ta được hệ 3 phương trình:
\[
\begin{cases}
1 + 0 + 0A + 1B + C = 0 \Rightarrow B + C = -1 \\
4 + 1 + 2A - 1B + C = 0 \Rightarrow 2A - B + C = -5 \\
4 + 1 - 2A - 1B + C = 0 \Rightarrow -2A - B + C = -5
\\\end{cases}
\]
Giải hệ này ta tìm được$A = 0$,$B = -1$,$C = 1$.
Phương trình:$x^2 + y^2 - y + 1 = 0$. (Xem thêm ví dụ giải hệ trong SGK hoặc tài liệu nâng caokhi cần thiết.)

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên bình phương hoặc căn bậc hai khi tính bán kính từ hai điểm, dẫn đến sai số.
• Không kiểm tra kỹ dấu trong chuyển vế (âm/dương sai dẫn đến kết quả sai).
• Viết sai dạng tổng quát, không tiêu chuẩn hóa về dạng$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ để xác định tâm và bán kính.
• Bán kính$R$phải kiểm tra chắc chắn là số dương.

8. Tóm tắt – những điểm chính cần nhớ

• Đường tròn là tập hợp các điểm cách tâm một khoảng cố định (bán kính).
• Phương trình chuẩn:$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.
• Dạng tổng quát:$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$($A^2 + B^2 - 4C > 0$).
• Lập phương trình đường tròn theo tâm và bán kính hoặc tâm và điểm thuộc đường tròn.
• Hoàn thành bình phương để quy về dạng chuẩn.

Việc nắm vững khái niệm, các phép biến đổi trong phương trình đường tròn và tránh được các lỗi phổ biến sẽ giúp các em tự tin khi làm bài tập cũng như khi thi. Đừng ngần ngại luyện tập thêm nhiều ví dụ để thành thạo hơn nhé!