Blog

Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 10, Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ là một chủ đề cực kỳ quan trọng thuộc chương Hình học. Việc nắm vững đường tròn trên mặt phẳng tọa độ không chỉ giúp em giải quyết các bài toán hình học chính xác mà còn là nền tảng cho các kiến thức sau này như elip, parabol, hyperbol.

Hiểu rõ về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ giúp em vận dụng linh hoạt trong nhiều dạng bài: tìm tâm, bán kính, xác định vị trí tương đối giữa điểm/thẳng/đường tròn,...

Ứng dụng thực tế của đường tròn rất đa dạng: từ thiết kế kĩ thuật, đồ họa máy tính đến các ngành khoa học tự nhiên khác.

Đặc biệt, em hoàn toàn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ để thành thạo kiến thức này.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

  • Định nghĩa: Đường tròn tâmI(a;b)I(a;b), bán kínhRRlà tập hợp các điểmM(x;y)M(x;y)trong mặt phẳng sao choMI=RMI = R.
  • Phương trình chính tắc:(xa)2+(yb)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
  • Nếu đường tròn tâmO(0;0)O(0;0)và bán kínhRR:x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2
  • Điều kiện để một điểmM(x0;y0)M(x_0;y_0)nằm trên đường tròn:(x0a)2+(y0b)2=R2(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = R^2

Chú ý phân biệt phương trình đường tròn với elip, parabol và đường thẳng.

2.2 Công thức và quy tắc

  • Phương trình đường tròn:(xa)2+(yb)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
  • Cách tìm tâm (a;b)(a;b)và bán kínhRR từ phương trình tổng quát:
    x2+y2+2ax+2by+c=0x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0
    Khi đó, tâm là I(a;b)I(-a;-b), bán kính R=a2+b2cR = \sqrt{a^2 + b^2 - c}
  • Cách nhận biết công thức hiệu quả: Ghi nhớ dạng thứcx2+y22ax2by+c=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0rồi biến đổi về chính tắc.

Luôn kiểm tra điều kiệnR>0R > 0(tức là a2+b2c>0a^2 + b^2 - c > 0) để chắc chắn phương trình mô tả một đường tròn thực sự.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tìm phương trình đường tròn tâmI(2;3)I(2;3), bán kínhR=5R = 5.

Lời giải từng bước:

  1. Áp dụng công thức:(xa)2+(yb)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
  2. Thaya=2a = 2,b=3b = 3,R=5R=5vào công thức:
    (x2)2+(y3)2=25(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25

Lưu ý: Luôn kiểm tra lại hệ số và đảm bảo bán kính dương.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho phương trình:x2+y24x+6y12=0x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.

  1. Viết lại phương trình theo dạng tổng quát:x2+y2+2ax+2by+c=0x^2 + y^2 + 2a x + 2b y + c = 0với2a=4a=22a = -4 \to a = -2,2b=6b=32b = 6 \to b = 3,c=12c = -12.
  2. Tâm I(a;b)=(2;3)I(-a;-b) = (2;-3), bán kính:
    R=a2+b2c=(2)2+(3)2(12)=4+9+12=25=5R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5

Kỹ thuật giải nhanh: Xác định hệ số, chuyển về dạng chuẩn, kiểm traR>0R > 0.

4. Các trường hợp đặc biệt

  • Đường tròn đi qua gốc tọa độ: Thayx=0;y=0x=0; y=0vào phương trình để tìm liên hệ giữa các hệ số.
  • Đường tròn tiếp xúc trụcOxOxhoặcOyOy: Dùng thêm điều kiện tiếp xúc để tìma,b,Ra, b, R.
  • Khia2+b2c<0a^2 + b^2 - c < 0thì không tồn tại đường tròn thực.
  • Mối liên hệ với đường thẳng và các conic khác (so sánh dạng phương trình, điều kiện tiếp xúc...).

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm giữa hệ số a,ba, btrong phương trình tổng quát và tọa độ tâm.
  • Hiểu nhầm giữa phương trình đường tròn và phương trình parabol/hyperbol.

Cách ghi nhớ đúng là luôn biến đổi về dạng phương trình chuẩn để dễ dàng xác định tâm và bán kính.

5.2 Lỗi về tính toán

  • Tính sai RRdo nhầm dấu trừ khi tínhR=a2+b2cR = \sqrt{a^2 + b^2 - c}.
  • Quên kiểm tra điều kiệnR>0R > 0.

Luôn kiểm tra lại công thức và thử nhiều giá trị điểm để chắc chắn kết quả đúng.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Đừng ngần ngại truy cập ngay kho bài tập Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ miễn phí với hơn 42.226+ bài tập phong phú.

  • Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.
  • Theo dõi tiến độ, xem đáp án, phân tích kết quả và cải thiện kỹ năng mỗi ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Nắm vững định nghĩa, phương trình và điều kiện để tồn tại đường tròn.
  • Biết vận dụng công thức phù hợp tùy trường hợp.
  • Chú ý phân biệt dạng phương trình tổng quát và chính tắc.
  • Luyện tập đều đặn với các dạng bài đa dạng.

Checklist ôn tập nhanh:
- Đọc kỹ lý thuyết đường tròn mặt phẳng tọa độ.
- Viết lại các công thức chính.
- Thử vài ví dụ đơn giản và nâng cao.
- Trang bị kỹ năng kiểm tra điều kiện tồn tại đường tròn.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".