Bài 3. Nhị thức Newton – Kiến thức cơ bản, ví dụ minh họa & luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Bài 3. Nhị thức Newton

Nhị thức Newton là một trong những chủ đề quan trọng của chương Đại số tổ hợp trong chương trình Toán lớp 10. Đây là kiến thức nền tảng về khai triển lũy thừa của tổng hai số (x+y) ở bậc n, áp dụng nhiều cho giải toán, ôn thi và thực tiễn.

Hiểu rõ Nhị thức Newton giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán tổ hợp, khai triển, xác suất và các chuyên đề khác trong học tập cũng như các ứng dụng đời sống – ví dụ như tính số cách chọn, phân chia, mã hóa, mô hình tài chính...

Khi luyện tập, bạn có thể truy cập hơn 42.226+ bài tập Bài 3. Nhị thức Newton miễn phí để thành thạo dạng toán này chỉ với vài phút mỗi ngày.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bảnĐịnh nghĩa Nhị thức Newton:

Khai triển nhị thức Newton là khai triển biểu thức$(x + y)^n$thành tổng nhiều hạng tử, mỗi hạng tử có dạng$C_n^k x^{n-k} y^k$.

Định lý Nhị thức Newton:$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$, với $n$ là số nguyên không âm.Tính chất:

Các hệ số $C_n^k$(hay còn gọi là số tổ hợp) là các số được sắp xếp thành Tam giác Pascal.

Điều kiện áp dụng:

$n$là số nguyên không âm,$x$,$y$là các số thực (hoặc phức). Không áp dụng nếu$n$không thuộc tập số nguyên không âm.

2.2 Công thức và quy tắcCông thức khai triển:$(x+y)^n = C_n^0 x^n y^0 + C_n^1 x^{n-1} y^1 +... + C_n^n x^0 y^n$Công thức số tổ hợp:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$với$0 \leq k \leq n$Cách ghi nhớ công thức: Nhớ thứ tự mũ $x$giảm dần từ $n$về $0$, mũ $y$tăng dần từ $0$ đến$n$.Điều kiện sử dụng: Chỉ dùng khi$n$là số nguyên không âm.Biến thể: Nếu$y = 1$hoặc$x = 1$thì có các ứng dụng đặc biệt để tính tổng các hệ số.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bảnBài toán: Khai triển$(x + y)^3$.

Bước 1: Xác định$n = 3$

Bước 2: Tìm các số tổ hợp$C_3^0$,$C_3^1$,$C_3^2$,$C_3^3$:

$C_3^0 = 1$,$C_3^1 = 3$,$C_3^2 = 3$,$C_3^3 = 1$

Bước 3: Viết các hạng tử:

$C_3^0 x^3 y^0 = x^3$
$C_3^1 x^2 y^1 = 3x^2y$
$C_3^2 x^1 y^2 = 3xy^2$
$C_3^3 x^0 y^3 = y^3$

Kết quả:$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Lưu ý: Hệ số của mỗi hạng tử chính là số tổ hợp tương ứng.

3.2 Ví dụ nâng caoBài toán: Tìm hệ số của$x^2 y^3$trong khai triển$(x + y)^5$.

Giải:

Trong khai triển$(x+y)^5$, hạng tử có dạng$C_5^k x^{5-k}y^k$.

Hệ số của$x^2 y^3$ ứng với$5-k=2$nghĩa là $k=3$.

Vậy hệ số cần tìm là $C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$.

Vậy hệ số của$x^2 y^3$là $10$.

Kỹ thuật giải nhanh: Nhớ công thức và xác định đúng chỉ số tổ hợp nhờ tổng mũ của$x$và $y$phải bằng$n$.

4. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp$x = 1$hoặc$y=1$: Tổng các hệ số của$(x + y)^n$là $2^n$.Trường hợp các hệ số bằng nhau: Chỉ xảy ra khi$n$chẵn và xét ở các vị trí đối xứng qua giữa.Liên hệ với tổ hợp: Số $C_n^k$chính là số cách chọn$k$phần tử từ $n$phần tử.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệmNhầm lẫn công thức tổ hợp$C_n^k$với$P_n^k$(chỉnh hợp).Quên tổng của các số mũ trong một hạng tử bằng$n$.Để tránh: Luyện tập nhiều ví dụ, ghi nhớ thứ tự mũ $x$giảm,$y$tăng.5.2 Lỗi về tính toánLỗi tính nhầm giá trị $C_n^k$do quên hoặc sai công thức giai thừa.Không kiểm tra lại tổng hạng tử hoặc tổng hệ số.Cách khắc phục: Dùng máy tính hoặc Tam giác Pascal để kiểm tra.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập Bài 3. Nhị thức Newton miễn phí. Không cần đăng ký, luyện tập ngay để kiểm tra tiến độ học tập và nâng cao kỹ năng giải toán!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Công thức chính: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$.Ghi nhớ công thức tổ hợp$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.Luôn kiểm tra tổng mũ $x$và $y$bằng$n$.Luyện tập nhiều bài để tránh nhầm lẫn.Chuẩn bị kế hoạch ôn tập: Học kỹ lý thuyết – làm bài cơ bản – thử sức nâng cao.

Chúc bạn học tốt Bài 3. Nhị thức Newton và thành thạo mọi kỹ năng giải toán Đại số tổ hợp lớp 10!