Blog

Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai: Giải thích chi tiết và bài tập luyện miễn phí

T
Tác giả
4 phút đọc
Chia sẻ:
4 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 10, 'Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai' là nội dung then chốt giúp học sinh tiếp cận với các dạng phương trình phức tạp hơn qua việc biến đổi chúng về dạng quen thuộc là phương trình bậc hai một ẩn. Việc hiểu rõ chủ đề này sẽ giúp bạn dễ dàng chinh phục các bài toán đại số sau này và mở rộng kỹ năng giải quyết vấn đề trong thực tế, như mô hình hóa bài toán vật lý, kinh tế,... Bạn có thể bắt đầu luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập trực tuyến ngay sau bài học này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Phương trình quy về phương trình bậc hai là những phương trình có dạng phức tạp, nhưng sau một số biến đổi đại số hợp lý, có thể đưa về dạng phương trình bậc hai một ẩn:

ax2+bx+c=0 (a0)ax^2 + bx + c = 0 \ (a \neq 0)

Các phương trình thường gặp: phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, đối xứng,...

  • Bước đầu là nhận diện dạng phương trình phức tạp để biến đổi về phương trình bậc hai.
  • Áp dụng các phép biến đổi đại số: khai triển, quy đồng, đặt ẩn phụ, chuyển vế,...
  • Lưu ý điều kiện xác định của phương trình (với các biểu thức chứa căn, hoặc ẩn ở mẫu số).

2.2 Công thức và quy tắc

  • Công thức nghiệm phương trình bậc hai: x=b±b24ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  • Định lý Vi-et: Nếuax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0có hai nghiệmx1,x2x_1, x_2thì x1+x2=bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}x1x2=cax_1 x_2 = \frac{c}{a}
  • Đặt ẩn phụ: Chọny=f(x)y = f(x)giúp hạ bậc hoặc đơn giản hóa bài toán.

Ghi nhớ công thức bằng các câu ví dụ/nhạc, luyện viết lại công thức nhiều lần, làm nhiều bài tập ứng dụng.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Giải phương trình:x45x2+6=0x^4 - 5x^2 + 6 = 0

  1. Đặty=x2y = x^2(ẩn phụ), phương trình trở thành:y25y+6=0y^2 - 5y + 6 = 0
  2. Giải phương trình bậc hai với ẩnyy:y1=2y_1 = 2,y2=3y_2 = 3
  3. Quay lại biến xx: x2=2x=±2x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}, x2=3x=±3x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}

Lưu ý: Luôn kiểm tra điều kiện (nếu có) và kết luận đủ 4 nghiệm.

3.2 Ví dụ nâng cao

Giải phương trình:1x+1x2=3\frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = 3(đặt điều kiệnx0,\x2x \neq 0, \x \neq 2)

  1. Quy đồng hai vế:x2+xx(x2)=3\frac{x-2+x}{x(x-2)} = 3
  2. Rút gọn:2x2x(x2)=3\frac{2x-2}{x(x-2)} = 3
  3. Giải:2x2=3x(x2)3x26x2x+2=03x28x+2=02x-2 = 3x(x-2) \Rightarrow 3x^2 - 6x - 2x + 2 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 8x + 2 = 0
  4. Áp dụng công thức nghiệm bậc hai để tìmxx.

Làm chủ kỹ thuật quy đồng, thu gọn để giải nhanh phương trình loại này.

4. Các trường hợp đặc biệt

  • Khi đặt ẩn phụ cần kiểm tra điều kiện xác định của ẩn gốc.
  • Phương trình có chứa căn thức, trị tuyệt đối, ẩn trong mẫu số cần chú ý điều kiện giải.
  • Liên hệ với phương trình trùng phương, phương trình tích để hiểu sâu hơn bản chất.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn phương trình bậc hai với các dạng khác (bậc nhất, trùng phương, v...v...)
  • Không kiểm tra điều kiện xác định khi biến đổi công thức hoặc đặt ẩn phụ.

5.2 Lỗi về tính toán

  • Sai công thức nghiệm bậc hai (dấu±\pm, chỉ lấy một nghiệm, nhầm dấu căn).
  • Nhầm lẫn khi chuyển vế, khai triển biểu thức.
  • Không thử lại nghiệm vào điều kiện xác định.

Phương pháp kiểm tra: Thay nghiệm vào phương trình gốc, tính giá trị biểu thức, kiểm tra điều kiện.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập hơn 42.226+ bài tập Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai miễn phí ngay bây giờ. Không cần đăng ký, luyện tập tức thì để củng cố kỹ năng, bám sát lộ trình tự học, theo dõi tiến độ và làm lại bài tập chưa đúng bất cứ lúc nào.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Phương trình quy về phương trình bậc hai là kỹ năng then chốt để giải nhiều dạng bài toán phức tạp ở cấp THPT.
  • Học kỹ công thức nghiệm, định lý Vi-et, và kỹ thuật đặt ẩn phụ.
  • Luôn kiểm tra điều kiện xác định và thử nghiệm lại vào phương trình gốc.
  • Luyện tập thường xuyên qua bài tập miễn phí để thành thạo phương pháp giải.

Checklist ôn tập:

  • Ghi nhớ dạng tổng quát phương trình bậc hai;
  • Kỹ năng đặt ẩn phụ;
  • Kiểm tra điều kiện xác định;
  • Áp dụng công thức nghiệm chính xác.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".