Bài 3: Tích của một số với một vectơ – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 10, chuyên đề về vectơ là một nền tảng quan trọng cho việc học các nội dung hình học và đại số hiện đại. Một phần trọng yếu của chuyên đề này là 'Tích của một số với một vectơ', giúp học sinh hiểu cách thay đổi độ lớn và hướng của vectơ bằng con số cụ thể. Đây là công cụ toán học không thể thiếu, xuất hiện trong nhiều bài toán về hình học, vật lý và các ứng dụng thực tế khác.

2. Định nghĩa chính xác: Tích của một số với một vectơ

Cho một số thực$k$và một vectơ $\vec{a}$, tích của số $k$với vectơ $\vec{a}$(ký hiệu:$k\vec{a}$) là một vectơ có:

• Độ dài:$|k| \cdot |\vec{a}|$, nghĩa là lấy độ dài vectơ $\vec{a}$nhân với trị tuyệt đối của$k$.
• Hướng: Nếu$k > 0$thì $k\vec{a}$cùng hướng với$\vec{a}$; nếu$k < 0$thì $k\vec{a}$ngược hướng với$\vec{a}$; nếu$k = 0$thì $k\vec{a}$là vectơ không (kí hiệu$\vec{0}$).

Khi$k = 1$thì $k\vec{a} = \vec{a}$. Khi$k = -1$thì $k\vec{a}$là vectơ đối của$\vec{a}$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử $\vec{a}$có điểm đầu$A(0, 0)$và điểm cuối$B(2, 3)$. Khi đó, véc tơ $\vec{a}$có tọa độ $(2, 3)$. Xét các trường hợp:

• Tính$2\vec{a}$: Nhân từng thành phần với 2, ta được$2\vec{a} = (2 \times 2, 2 \times 3) = (4, 6)$.
• Tính$-3\vec{a}$: Nhân từng thành phần với$-3$, ta được$-3\vec{a} = (-3 \times 2, -3 \times 3) = (-6, -9)$.

Như vậy, muốn tìm tích của một số $k$với$\vec{a}$, chỉ cần nhân từng thành phần tọa độ của$\vec{a}$với$k$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$k = 0$thì $k\vec{a} = \vec{0}$(vectơ không).
- Nếu$|k| = 1$thì độ dài vectơ không đổi, chỉ có thể đổi hướng khi$k < 0$.
- Với mọi vectơ $\vec{a}$, ta có $-\vec{a}$là vectơ cùng độ lớn, ngược hướng.

Lưu ý khi biểu diễn trên mặt phẳng: Để vẽ $k\vec{a}$từ đầu$O$, lấy điểm có tọa độ $(k a_1, k a_2)$nếu$\vec{a} = (a_1, a_2)$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tích của một số với một vectơ là nền tảng cho phép cộng vectơ, phép trừ vectơ và khái niệm tích vô hướng, tích có hướng ở lớp 11.
- Trong hệ trục tọa độ, tích này tương ứng với phép co giãn, kéo dài hoặc lật ngược một vectơ.
- Ứng dụng trong vật lý: Lực, vận tốc, chuyển động đều sử dụng khái niệm này.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho$\vec{a} = (3, -2)$. Tính$-2\vec{a}$.

Giải:$-2\vec{a} = (-2 \times 3, -2 \times (-2)) = (-6, 4)$.

Bài 2: Một lực$\vec{F}$có môđun$8N$, cùng hướng với trục Ox. Tìm vectơ $1,5\vec{F}$và $-\vec{F}$?

Giải:$1,5\vec{F}$là vectơ cùng hướng với$\vec{F}$, độ lớn$8 \times 1,5 = 12N$.$-\vec{F}$là vectơ ngược hướng, độ lớn vẫn là $8N$.

Bài 3: Vẽ $\vec{b} = (1, 2)$. Hãy biểu diễn$-\vec{b}$trên mặt phẳng.

Giải:$-\vec{b} = (-1, -2)$. Trên mặt phẳng tọa độ, vẽ một mũi tên từ $O(0,0)$ đến$(-1,-2)$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không để ý dấu của số $k$nên xác định sai hướng vectơ. Hãy kiểm tra$k > 0$hay$k < 0$.
• Quên nhân tất cả các thành phần tọa độ của vectơ với$k$.
• Khi$k=0$không gọi là vectơ không mà vẫn vẽ như vectơ thường.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tích của một số với một vectơ $\vec{a}$là vectơ cùng (hoặc ngược) hướng$\vec{a}$, có độ dài$|k|$lần độ dài$\vec{a}$.
• Nếu$k > 0$giữ nguyên hướng; nếu$k < 0$ đảo ngược hướng; nếu$k = 0$thành vectơ không.
• Muốn tính tích trong tọa độ: nhân từng thành phần với$k$.
• Vận dụng tốt sẽ giúp học các phép toán khác với vectơ và giải quyết bài toán hình học, vật lý.