Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu về tích vô hướng của hai vectơ

Trong chương trình toán học lớp 10, đặc biệt ở phần hình học, "tích vô hướng của hai vectơ" đóng vai trò rất quan trọng. Hiểu được khái niệm này giúp các em giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc hay song song của các vectơ, cũng như ứng dụng trong việc chứng minh, giải toán thực tế.

2. Định nghĩa chính xác về tích vô hướng của hai vectơ

Giả sử cho hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$, tích vô hướng của chúng ký hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$hoặc ($\vec{a}, \vec{b}$), được định nghĩa bởi công thức:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta$
Trong đó:
-$|\vec{a}|, |\vec{b}|$lần lượt là độ dài của các vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$.
-$\theta$là góc giữa hai vectơ (với$0 \leq \theta \leq 180^\circ$).

Tích vô hướng là một số (không phải là vectơ), có thể dương, âm hoặc bằng không.

3. Giải thích từng bước cùng ví dụ minh họa

Giả sử $\vec{a} = (a_1, a_2)$,$\vec{b} = (b_1, b_2)$trong mặt phẳng tọa độ.

Cách tính tích vô hướng theo tọa độ:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$

Tổng quát trong không gian 3 chiều, với$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$và $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$, ta có:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

Ví dụ 1: Cho$\vec{a} = (2, 3)$,$\vec{b} = (4, 1)$. Hãy tính$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Ta tính:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 4 + 3 \times 1 = 8 + 3 = 11$

Ví dụ 2: Cho$\vec{a} = (1, -1, 2)$và $\vec{b} = (2, 0, -3)$. Khi đó:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + (-1) \times 0 + 2 \times (-3) = 2 + 0 - 6 = -4$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$\vec{a}$và $\vec{b}$cùng hướng:$\theta = 0^\circ$nên$\cos \theta = 1$, do đó $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$
- Nếu$\vec{a}$và $\vec{b}$vuông góc:$\theta = 90^\circ$nên$\cos \theta = 0$, do đó $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
- Nếu$\vec{a}$và $\vec{b}$ngược hướng:$\theta = 180^\circ$, nên$\cos \theta = -1$, do đó $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Lưu ý: Tích vô hướng KHÔNG phải là một vectơ. Đây là số thực.

5. Liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Dùng để xác định góc giữa hai vectơ:
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

- Xác định tính vuông góc:
Nếu$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$($\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$) thì hai vectơ vuông góc.

- Ứng dụng trong chứng minh ba điểm thẳng hàng, kiểm tra sự song song hai vectơ...

- Tích vô hướng là tiền đề để học các phép toán vectơ phức hơn như tích có hướng, tích hỗn hợp...

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho$\vec{a} = (3, 1)$,$\vec{b} = (-2, 4)$. Tính tích vô hướng$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Giải:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-2) + 1 \times 4 = -6 + 4 = -2$

Bài 2: Hai vectơ $\vec{a} = (2, -1, 3)$và $\vec{b} = (4, 2, -5)$. Hãy xác định tích vô hướng và cho biết hai vectơ có vuông góc không.

Giải:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 4 + (-1) \times 2 + 3 \times (-5) = 8 -2 -15 = -9$

Vì tích vô hướng khác 0 nên hai vectơ KHÔNG vuông góc.

Bài 3: Cho $\vec{a} = (1, 2)$có độ dài$|\vec{a}| = \sqrt{5}$, $\vec{b} = (2, -1)$có độ dài$|\vec{b}| = \sqrt{5}$. Tính góc giữa hai vectơ.

Giải:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) = 2 - 2 = 0$

Vậy hai vectơ vuông góc, do đó $\theta = 90^\circ$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn tích vô hướng là một vectơ. Thực ra, nó là một số.
- Không chú ý đến dấu khi tính.
- Quên hoặc sai công thức khi chuyển đổi giữa dạng độ lớn – góc và dạng tọa độ.
- Lấy góc$\theta$sai, không phải là góc nhỏ nhất giữa hai vectơ.

8. Tóm tắt – Những điểm chính cần nhớ

• Tích vô hướng của hai vectơ là một số thực, không phải là vectơ.
• Định nghĩa:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
• Dạng tọa độ mặt phẳng:$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2) \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$.
• Nếu$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$thì hai vectơ vuông góc (trừ trường hợp$\vec{a}$hoặc$\vec{b}$là vectơ không).
• Khi vận dụng, phải cẩn thận chuyển đổi giữa các dạng và chú ý dấu.

Hi vọng bài viết đã giúp các em nắm vững bản chất và biết vận dụng thực hành thành thạo tích vô hướng hai vectơ trong chương trình Toán 10.