Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ – Giải thích chi tiết và ví dụ minh họa (Toán 10)

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ trong Toán 10

"Tích vô hướng của hai vectơ" là một chủ đề trọng tâm thuộc chương V: VECTƠ trong chương trình Toán lớp 10. Đây là công cụ quan trọng giúp chúng ta giải các bài toán về hình học, vật lý cũng như trong nhiều lĩnh vực khác như tin học, kỹ thuật. Việc nắm vững khái niệm này giúp học sinh dễ dàng xử lý các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, xác định tính vuông góc, song song và giải quyết nhiều bài toán thực tế như tìm công, xác định phương, vị trí và hướng trong đời sống.

Hiểu rõ về tích vô hướng sẽ giúp bạn:

• Giải quyết các bài toán hình học về góc, vuông góc, song song dễ dàng hơn.
• Áp dụng trong các bài tập và thi cử từ cơ bản đến nâng cao.
• Dễ dàng làm chủ kiến thức chương "Vectơ" và mở rộng kiến thức sang các môn khoa học khác.
• Thực hành với hơn 42.226+ bài tập tích vô hướng của hai vectơ miễn phí giúp nâng cao kỹ năng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Tích vô hướng (hay còn gọi là tích scalar) của hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$là một số thực, ký hiệu$\vec{a} \cdot \vec{b}$, được xác định bởi công thức:

trong đó $|\vec{a}|$là độ dài vectơ $\vec{a}$,$|\vec{b}|$là độ dài vectơ $\vec{b}$,$\varphi$là góc giữa hai vectơ.

- Tích vô hướng còn có thể tính theo tọa độ trong mặt phẳng Oxy:

- Tính chất của tích vô hướng:

• Giao hoán:$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
• Phân phối:$\vec{a} \cdot ( \vec{b} + \vec{c} ) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
• Tích vô hướng của vectơ với chính nó:$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
• Nếu$\vec{a} \perp \vec{b}$thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

- Điều kiện áp dụng: Sử dụng công thức đại số khi biết tọa độ, sử dụng công thức lượng giác khi biết độ dài và góc.

2.2 Công thức và quy tắc

• Tích vô hướng trong lượng giác:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi)$
• Tích vô hướng trong tọa độ:$\vec{a} = (a_1, a_2),\ \vec{b} = (b_1, b_2) \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$
• Nếu$\vec{a}$,$\vec{b}$vuông góc:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• Nếu$\vec{a}$,$\vec{b}$cùng hướng:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
• Nếu$\vec{a}$,$\vec{b}$ngược hướng:$\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

- Lưu ý: Để ghi nhớ công thức có thể liên tưởng đến "cos(90°) = 0" (vectơ vuông góc tích vô hướng bằng 0) và "cos(0°) = 1" (vectơ cùng phương cùng hướng, tích vô hướng là lớn nhất).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hai vectơ $\vec{a} = (2, 3)$và $\vec{b} = (4, -1)$.

Tính tích vô hướng$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho hai vectơ $\vec{u}$,$\vec{v}$có độ dài lần lượt là $5$và $3$, góc giữa chúng là $60^\circ$. Tính$\vec{u} \cdot \vec{v}$.

- Lưu ý: Phải chuyển đúng góc sang radian/độ phù hợp, thuộc lòng giá trị cos các góc đặc biệt.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu hai vectơ vuông góc ($\varphi = 90^\circ$) thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• Nếu hai vectơ cùng phương, cùng hướng ($\varphi = 0^\circ$) thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
• Nếu hai vectơ cùng phương, ngược hướng ($\varphi = 180^\circ$) thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
• Dùng tích vô hướng để kiểm tra hai vectơ có vuông góc không: Tích bằng 0 thì hai vectơ vuông góc
• Tích vô hướng liên quan mật thiết đến công thức giữa hai vectơ và cosin góc xen giữa.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm giữa tích vô hướng và tích có hướng (tích vectơ) – hãy nhớ "vô hướng" kết quả là số (scalar)
• Nhớ sai công thức, không chú ý đến góc giữa hai vectơ
• Dễ nhầm lẫn giữa phương trình hoành độ/tung độ khi làm theo tọa độ – luôn ghi rõ tọa độ trong ngoặc

5.2 Lỗi về tính toán

• Sai dấu khi nhân các tọa độ
• Lỗi trong tính toán giá trị cosine các góc đặc biệt
• Quên nhân đầy đủ các thành phần (khi làm bài theo tọa độ)
• Cách kiểm tra: Sau khi tính giá trị, thử thay vào điều kiện đặc biệt (ví dụ kiểm tra tích vô hướng của hai vectơ vuông góc có bằng 0 không)

6. Luyện tập miễn phí ngay với 42.226+ bài tập Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Truy cập kho 42.226+ bài tập Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ miễn phí ngay hôm nay! Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập, làm bài, xem đáp án, lời giải chi tiết và theo dõi tiến độ học tập một cách dễ dàng. Hãy rèn luyện thường xuyên để nâng cao kỹ năng và làm chủ kiến thức toán hình học lớp 10.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Tích vô hướng là phép nhân hai vectơ ra một số, công thức lượng giác và công thức tọa độ cần nắm vững
• Ghi nhớ các trường hợp đặc biệt: vuông góc (tích trực tiếp bằng 0), cùng/ ngược hướng
• Phân biệt với tích có hướng, nhớ các tính chất cơ bản, dùng đúng điều kiện áp dụng từng công thức

Checklist ôn tập:

• Nắm chắc định nghĩa và ý nghĩa của tích vô hướng
• Thuộc lòng các công thức cả hai dạng lượng giác và tọa độ
• Làm nhiều bài tập từ dễ đến khó trong kho bài tập miễn phí
• Tổng kết lại lỗi thường gặp sau mỗi lần luyện tập
• Lên kế hoạch luyện tập đều đặn mỗi tuần

Đừng quên truy cập bài tập "Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ miễn phí" để nâng cao kỹ năng, chuẩn bị thật tốt cho các kỳ kiểm tra Toán lớp 10!