Giới thiệu về Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

Trong chương trình toán lớp 10, "biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ" là một kiến thức nền tảng, gắn liền với các bài toán bất phương trình, hệ bất phương trình, và phương trình ẩn số. Việc hiểu và thành thạo khái niệm này giúp học sinh dễ dàng nhận biết miền giá trị của các nghiệm, hình dung trực quan tập nghiệm và hỗ trợ hiệu quả cho việc giải các bài toán thực tế cũng như nâng cao tư duy hình học.

Định nghĩa: Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ là gì?

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ là cách biểu diễn hình học các tập nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình hoặc điều kiện ràng buộc của biến số x, y trên mặt phẳng$Oxy$(mặt phẳng tọa độ). Khi đó, mỗi nghiệm$(x, y)$thỏa mãn điều kiện/sẽ tương ứng với một điểm hoặc một vùng (miền) trên mặt phẳng này.

Hướng dẫn từng bước với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn, hãy cùng xem các bước cụ thể khi biểu diễn miền nghiệm qua một ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình$x + y \leq 2$

Bước 1. Viết lại bất phương trình và xác định điều kiện của bài toán:$x + y \leq 2$.

Bước 2. Xác định đường biên (đường ranh giới): Lấy$x + y = 2$. Đây là đường một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.

Bước 3. Vẽ đường thẳng$x + y = 2$trên mặt phẳng$Oxy$: Đường này đi qua hai điểm$A(2,0)$và $B(0,2)$.

Bước 4. Chọn một điểm không thuộc đường thẳng để kiểm tra: Thường chọn$O(0,0)$(gốc tọa độ). Thay vào bất phương trình:$0+0=0 \leq 2$(Đúng). Vậy miền nghiệm nằm về phía chứa$O(0,0)$so với đường thẳng$x + y = 2$.

Bước 5. Tô đậm và ký hiệu miền nghiệm: Tô phần miền phẳng phía dưới (hoặc bên trái) đường thẳng$x + y = 2$(bao gồm cả đường thẳng này - vì dấu " \leq ").

Như vậy, miền nghiệm của bất phương trình$x + y \leq 2$là tập hợp các điểm$(x,y)$nằm về phía chứa$O(0,0)$so với đường thẳng$x + y = 2$, kể cả trên đường thẳng đó.

Ví dụ 2: Hệ bất phương trình hai ẩn

Cho hệ:

Biểu diễn như sau:

• Vẽ đường thẳng$x + y = 2$và tô đậm miền phía dưới (bao gồm cả đường thẳng).
• Vẽ đường thẳng$x=0$(trục Oy), tô đậm miền bên phải.
• Vẽ đường thẳng$y=0$(trục Ox), tô đậm miền phía trên.
• Miền nghiệm là phần giao của các miền trên: chính là tam giác có các đỉnh$(0,0)$,$(2,0)$,$(0,2)$.

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi biểu diễn miền nghiệm

• Nếu bất phương trình dạng$ax + by = c$, đường biên là một đường thẳng. Nếu có dấu " = " kết hợp thì lấy luôn đường biên, nếu chỉ có dấu " < " hoặc " > " thì loại đường biên.
• Các bất phương trình dạng bậc hai như $x^2 + y^2 \leq r^2$sẽ có đường biên là đường tròn, ngoại trừ khi có dấu bằng.
• Cần chú ý biểu diễn đúng miền tương ứng với dấu của bất phương trình: vùng trên, dưới hoặc bên trái, bên phải đường biên.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ có mối quan hệ chặt chẽ với các kiến thức như: giải bất phương trình hai ẩn, tập hợp điểm, hình học phẳng, và các bài toán về lập luận suy luận logic. Đây là công cụ trực quan giúp kiểm tra lại nghiệm của bài toán, và còn có ứng dụng sâu rộng trong bài toán thực tế như bài toán tối ưu, bài toán quy hoạch tuyến tính.

Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình$y \geq 2x - 1$trên mặt phẳng tọa độ.

Giải:

• Đường biên:$y = 2x - 1$(đường thẳng d)
• Vẽ đường thẳng d qua hai điểm: ví dụ $x=0 \rightarrow y=-1$($A(0, -1)$);$x=1 \rightarrow y=1$($B(1, 1)$).
• Chọn điểm$O(0,0)$ để thử:$0 \geq 2 \times 0-1\implies 0 \geq -1$(Đúng). Vậy miền nghiệm là phía trên (hoặc trùng với) đường thẳng d, về phía có chứa điểm$O(0,0)$.

Vậy miền nghiệm là phần mặt phẳng phía trên hoặc nằm trên đường thẳng$y = 2x - 1$.

Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

Giải:

• Đường tròn tâm$O(0,0)$, bán kính$1$, biểu diễn tập các điểm$(x, y)$sao cho$x^2 + y^2 \leq 1$(là miền bên trong và trên đường tròn).
• Đường thẳng$x + y = 0$chia mặt phẳng làm hai nửa. Chọn điểm$O(0,0)$, ta thấy$0+0=0 \geq 0$(Đúng), vậy miền nghiệm ở phía trên hoặc trên đường thẳng$x+y=0$.
• Miền nghiệm chung là phần giao của hai miền ở trên: phần của đường tròn nửa bên có $x + y \geq 0$.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Lỗi xác định sai miền cần lấy (lấy sai phía của đường thẳng): Luôn nên kiểm tra bằng điểm thử.
• Quên lấy hoặc loại bỏ đường biên trong ký hiệu$\leq$,$\geq$hoặc$<$,$>$.
• Không xác định rõ miền giao nhau khi có hệ bất phương trình.

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ là kỹ năng quan trọng để hiểu sâu và trực quan bài toán bất phương trình hai ẩn.
• Các bước cần thiết: Viết lại bất phương trình/hệ bất phương trình, xác định đường biên, vẽ đường biên, chọn điểm kiểm tra, xác định và tô đậm miền nghiệm.
• Lưu ý các dấu$\leq$,$<$,$\geq$,$>$khi xác định lấy hoặc không lấy đường biên.
• Xác định miền giao (intersection) khi có nhiều điều kiện.
• Kiểm tra bằng điểm thử là bước không thể thiếu.