Blog

Lớp 10

Cách giải bài toán Biểu diễn quan hệ giữa các biến cố – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
•
•9 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán biểu diễn quan hệ giữa các biến cố

Trong chuyên đề xác suất, một trong những kĩ năng quan trọng mà học sinh lớp 10 cần nắm vững là "biểu diễn quan hệ giữa các biến cố". Đây là nền tảng giúp bạn hiểu rõ bản chất của các bài toán xác suất, từ đó vận dụng các công thức tính xác suất một cách logic, chính xác. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi học kì, cũng như là bước khởi đầu không thể thiếu để giải các bài toán xác suất phức tạp hơn.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

  • Đối tượng: Các bài toán liên quan đến các biến cố (các sự kiện) trong không gian xác suất.
  • Câu hỏi đặt ra thường là: "Biểu diễn biến cố A (hoặc B, hoặc một quan hệ nào đó) bằng các biến cố cơ bản?" hoặc "Tìm xác suất của một biến cố phức tạp qua các biến cố đơn giản hơn".
  • Biến cố phức tạp: Có thể là hợp, giao, hiệu hoặc biến cố đối của nhiều biến cố đơn.
  • Đòi hỏi kỹ năng sử dụng ký hiệu, hình học Venn và tư duy logic để phân tích.

    • Lý thuyết về quan hệ giữa các biến cố sẽ liên quan trực tiếp tới các phép toán tập hợp: giao (A∩BA \cap B), hợp (A∪BA \cup B), hiệu (A∖BA \setminus B), biến cố đối (A‾\overline{A}),... Việc thành thạo các thao tác này sẽ giúp bạn giải được các bài toán yêu cầu tính xác suất hoặc phân tích đề bài một cách chính xác.

    3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Bước 1: Đọc kỹ yêu cầu, xác định các biến cố được đề bài đưa ra (A, B, C, …).
  • Bước 2: Sử dụng các phép toán tập hợp để biểu diễn biến cố phức tạp thông qua các biến cố đơn.
  • Bước 3: Minh họa bằng biểu đồ Venn nếu cần để xác định chính xác vùng biểu diễn.
  • Bước 4: Dùng các công thức xác suất (nếu có dữ kiện xác suất) để tính toán kết quả.

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Giả sử có đề bài: “Một lớp có 40 học sinh. Gọi A là biến cố ‘học sinh chọn học môn Toán’, B là biến cố ‘học sinh chọn học môn Văn’. Hãy biểu diễn các biến cố sau:

  • (1) Học sinh chọn cả Toán và Văn.
  • (2) Học sinh chọn ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn.
  • (3) Học sinh không chọn môn nào.

    • Giải:

  • (1) Học sinh chọn cả Toán và Văn: Biến cố này là A∩BA \cap B.
  • (2) Học sinh chọn ít nhất một môn:A∪BA \cup B.
  • (3) Học sinh không chọn môn nào:A∪B‾\overline{A \cup B}.

    • Nếu muốn biểu diễn "học sinh chỉ chọn Toán mà không chọn Văn", ta có:

    • A∖BA \setminus B (Toán mà không Văn)

    Sử dụng biểu đồ Venn sẽ giúp bạn hình dung rõ hơn mối quan hệ giữa các biến cố và xác định miền phù hợp.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

    Các công thức cần nhớ về quan hệ giữa các biến cố:

  • -A∪BA \cup B: Biến cố “xảy ra ít nhất một trong hai biến cố”
  • -A∩BA \cap B: Biến cố “xảy ra cả A và B”
  • -A‾\overline{A}: Biến cố đối của A, nghĩa là “A không xảy ra”
  • - A∖B=A∩B‾A \setminus B = A \cap \overline{B}: Chỉ A xảy ra, B không xảy ra
  • -A∪B‾=A‾∩B‾\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}
  • -A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}
  • -P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

    • 6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

    Bài toán có thể mở rộng cho ba biến cố (AA,BB,CC):

  • - Chỉ xảy ra một biến cố: A∖(B∪C)A \setminus (B \cup C) hoặc tương tự.
  • - Xảy ra ít nhất một biến cố trong ba:A∪B∪CA \cup B \cup C
  • - Không biến cố nào xảy ra:A∪B∪C‾\overline{A \cup B \cup C}
  • - Xảy ra đúng hai trong ba biến cố:[A∩B∩C‾]∪[A∩B‾∩C]∪[A‾∩B∩C][A \cap B \cap \overline{C}] \cup [A \cap \overline{B} \cap C] \cup [\overline{A} \cap B \cap C]

    • Bạn cần linh hoạt dùng kỹ năng tập hợp và hình vẽ để xác định chính xác các quan hệ này.

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Đề bài: Một hộp có 5 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh, 3 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi. Gọi A: 'Lấy được bi đỏ', B: 'Lấy được bi xanh'. Hãy xác định:

  • (a) Biến cố 'Lấy được bi đỏ hoặc xanh'
  • (b) Biến cố 'Không lấy được bi đỏ'
  • (c) Biến cố 'Lấy được bi không phải màu đỏ và không phải màu xanh'

    • Lời giải:

  • (a) Biến cố 'Lấy được bi đỏ hoặc xanh' là A∪BA \cup B.
  • (b) Biến cố 'Không lấy được bi đỏ' là A‾\overline{A}.
  • (c) Biến cố 'Lấy được bi không phải màu đỏ và không phải màu xanh' là A∪B‾\overline{A \cup B}.

    • Tính xác suất với tổng số bi là 5+4+3=125 + 4 + 3 = 12.

  • (a):P(A∪B)=5+412=912=34(a): P(A \cup B) = \frac{5+4}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
  • (b):P(A‾)=1−P(A)=1−512=712(b): P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}
  • (c):P(A∪B‾)=1−P(A∪B)=1−34=14(c): P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

    • 8. Bài tập thực hành cho học sinh

  • 1. Một bộ bài 52 lá, A: 'Lá bài bốc được là quân Át', B: 'Lá bài bốc được là quân cơ'. Hãy biểu diễn và tính xác suất các biến cố:
  • (a) Bốc được Át hoặc bích
  • (b) Không bốc được bài cơ
  • (c) Bốc được quân bài không phải Át và không phải cơ
  • 2. Gọi A: 'chọn được số chia hết cho 2', B: 'chọn được số chia hết cho 3' từ các số 1 đến 12. Hãy biểu diễn các biến cố sau:
  • (a) Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 3
  • (b) Số được chọn không chia hết cho 2
  • (c) Số được chọn không chia hết cho 2 và 3

    • 9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • - Luôn viết rõ ký hiệu: Hạn chế nhầm lẫn A∪BA \cup BvớiA∩BA \cap B, và với A∖BA \setminus B.
  • - Luôn nhận diện rõ điều kiện đề bài (ít nhất/một trong hai/không chọn/...) để không biểu diễn sai biến cố.
  • - Khi có nhiều biến cố, ưu tiên dùng hình vẽ Venn.
  • - Ghi nhớ các công thức xác suất cơ bản, nhất là với nhiều hơn 2 biến cố.
  • - Chú ý biến cố đối cực:A∪B‾\overline{A \cup B}không phải là A‾∪B‾\overline{A} \cup \overline{B}mà là A‾∩B‾\overline{A} \cap \overline{B}!
  • - Trước khi tính toán xác suất, hãy chắc chắn THỐNG NHẤT ký hiệu và hiểu rõ quan hệ giữa các biến cố.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".