1. Giới thiệu về bài toán hàm bậc nhất hai ẩn và tầm quan trọng

Hàm bậc nhất hai ẩn là một trong những chủ đề nền tảng trong chương trình toán lớp 10. Các bài toán liên quan đến hàm bậc nhất hai ẩn thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi và cả trong ứng dụng thực tế. Việc nắm chắc kiến thức về hàm bậc nhất hai ẩn không chỉ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán tại lớp mà còn hỗ trợ các chuyên đề liên quan như giải hệ phương trình, hình học giải tích, bài toán thực tế về tối ưu hóa...

2. Đặc điểm của bài toán về hàm bậc nhất hai ẩn

• Hàm bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:$f(x, y) = ax + by + c$với$a$,$b$không đồng thời bằng 0.
• Đồ thị biểu diễn là một mặt phẳng hoặc một đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
• Các bài toán thường gặp: xác định dạng hàm số, vẽ đồ thị, tìm điểm giao, giải hệ phương trình chứa hàm bậc nhất hai ẩn, giải bài toán thực tế ở dạng tối ưu hoá.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Nhận diện dạng hàm số và so sánh với dạng tổng quát.
• Xác định các hệ số $a$,$b$,$c$.
• Tìm điểm cắt trục hoành (xét$y=0$) và trục tung (xét$x=0$).
• Lập bảng giá trị ($x, y, f(x, y)$) để hiểu quy luật thay đổi của hàm.
• Với bài toán thực tế, chuyển đổi dữ kiện về hệ phương trình/hàm bậc nhất hai ẩn trước khi giải.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Xét ví dụ: Cho hàm số $f(x, y) = 2x - 3y + 6$. Hãy vẽ đồ thị và tìm tập nghiệm của phương trình$2x - 3y + 6 = 0$.

1. Nhận diện dạng hàm số:$a=2$,$b=-3$,$c=6$.
2. Tìm giao điểm với trục$x$(cho$y=0$):
   $2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$
   Vậy đồ thị cắt trục$x$tại$(-3, 0)$.
3. Tìm giao điểm với trục$y$(cho$x=0$):
   $-3y + 6 = 0 \Rightarrow y = 2$
   Vậy đồ thị cắt trục$y$tại$(0, 2)$.
4. Chọn thêm một điểm nữa trên đồ thị:
   Chọn$x=0 \rightarrow y=2$(đã biết). Chọn$y=0 \rightarrow x = -3$(đã biết). Chọn$x=3$:
   $2 \times 3 - 3y + 6 = 0 \Leftrightarrow 6 - 3y + 6 = 0 \Leftrightarrow -3y = -12 \Leftrightarrow y = 4$
   Có điểm$(3, 4)$.
5. Nối ba điểm$(-3, 0)$,$(0, 2)$,$(3, 4)$ta có đồ thị đường thẳng hàm bậc nhất hai ẩn.
6. Tập nghiệm của phương trình chính là toàn bộ các giá trị $(x, y)$thỏa$2x - 3y + 6 = 0$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Dạng tổng quát:$f(x, y) = ax + by + c$
• Tìm hoành độ giao với$Ox$:$y = 0 \Rightarrow x = -\frac{c}{a} \ (nếu \a \neq 0$)
• Tìm tung độ giao với$Oy$:$x = 0 \Rightarrow y = -\frac{c}{b} \ (nếu \b <br> \neq 0$)
• Nếu cần tìm$y$theo$x$hoặc ngược lại, chuyển vế biến phụ thuộc.
• Kỹ thuật vẽ đồ thị: chỉ cần hai điểm phân biệt để xác định duy nhất một đường thẳng.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của$f(x, y)$trên miền xác định (thường dùng phương pháp khảo sát biên, hệ hệ phương trình ràng buộc).
• Bài toán thực tế: chuyển đổi dữ kiện thực tế sang hệ phương trình/hàm bậc nhất hai ẩn để giải.
• Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: áp dụng phương pháp thế, cộng đại số hoặc vẽ đồ thị hai đường thẳng tìm giao điểm.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Cho phương trình$3x + 4y - 12 = 0$. Hãy:

• a) Viết lại biểu thức xác định hàm bậc nhất hai ẩn.
• b) Tìm toạ độ giao điểm với hai trục$Ox$và $Oy$.
• c) Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình trên.

Giải:

1. a) Biểu thức tổng quát là $f(x, y) = 3x + 4y - 12$.
2. b) Tìm giao điểm với$Ox$: Cho$y = 0$, ta có:
   $3x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4$
   Điểm cắt:$(4, 0)$.
   Tìm giao điểm với$Oy$: Cho$x = 0$, ta có:
   $4y - 12 = 0 \Rightarrow y = 3$
   Điểm cắt:$(0, 3)$.
3. c) Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm$(4, 0)$và $(0, 3)$.
4. Tập nghiệm chính là các cặp số $(x, y)$thoả mãn$3x + 4y = 12$.

8. Bài tập thực hành

Hãy thực hiện các bài tập sau để rèn kỹ năng giải toán về hàm bậc nhất hai ẩn:

1. Cho hàm số $g(x, y) = -2x + 5y - 10$. Hãy tìm giao điểm với các trục toạ độ và vẽ đồ thị hàm số.
2. Tìm tập nghiệm nguyên của phương trình$x - 4y + 8 = 0$.
3. Giải hệ:
   \[ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\\end{cases} \]
   và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.
4. Một bài toán thực tế: Một cửa hàng bán hai loại sản phẩm với số tiền bán sản phẩm A là $x$nghìn đồng, sản phẩm B là $y$nghìn đồng. Biết tổng tiền thu về là 25 nghìn đồng, nếu bán 3 sản phẩm A và 2 sản phẩm B thì được 80 nghìn đồng. Lập hệ phương trình xác định số tiền mỗi sản phẩm và giải.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định rõ dạng tổng quát$ax + by + c$ để tránh nhầm lẫn với các hàm/phương trình khác.
• Khi vẽ đồ thị, hai điểm thuộc đồ thị là đủ, nhưng nếu có thể hãy xác định cả điểm thứ 3 để kiểm tra.
• Đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hãy vận dụng phương pháp thế và cộng đại số linh hoạt.
• Cẩn thận với dấu âm và chuyển vế khi tính toán giá trị nghiệm.
• Đọc kỹ đề bài để chuyển hóa chính xác bài toán thực tế thành toán học.