1. Giới thiệu về bài toán hàm tổ hợp C(n, k) và tầm quan trọng

Bài toán hàm tổ hợp$C(n, k)$là một trong những dạng bài quan trọng của chương trình Toán lớp 10. Về bản chất,$C(n, k)$– còn gọi là số tổ hợp chập$k$của$n$– dùng để đếm số cách chọn$k$phần tử từ $n$phần tử mà không phân biệt thứ tự. Đây là nền tảng cơ bản cho các bài toán về xác suất, tổ hợp nâng cao và ứng dụng thực tế trong việc lập kế hoạch, chia tổ, bốc thăm… Việc nắm vững cách giải bài toán hàm tổ hợp C(n, k) giúp học sinh phát triển tư duy logic, hình thành kỹ năng nhận diện và giải quyết các bài toán đếm phức tạp hơn.

2. Đặc điểm của bài toán hàm tổ hợp C(n, k)

• Liên quan đến việc chọn/dãy/chia – không phụ thuộc thứ tự.
• Có thể xuất hiện trong ngữ cảnh chọn đội, chia nhóm, chọn quà, bốc thăm, lập lịch,…
• Thường có các ràng buộc đi kèm (ít nhất, nhiều nhất, không được chọn cùng nhau, v.v…).
• Có thể kết hợp với phép cộng, phép nhân, bổ sung, đối xứng trong tổ hợp.

3. Chiến lược tiếp cận tổng thể bài toán hàm tổ hợp C(n, k)

1. Xác định rõ các đối tượng cần chọn (tổng số phần tử, cần chọn bao nhiêu, có phân biệt thứ tự hay không).
2. Phân tích kỹ yêu cầu bài toán (có ràng buộc gì đặc biệt không: ví dụ, phải chọn ít nhất 1 nữ, không chọn hai phần tử cùng loại,...).
3. Áp dụng công thức tổ hợp phù hợp – đơn giản nhất là $C(n, k)$, nhưng nếu có ràng buộc thì cần vận dụng bổ sung hoặc nhóm trường hợp.
4. Cẩn thận khi dùng phép cộng/phép nhân; xác định các trường hợp tách biệt hay giao nhau.

4. Các bước giải cụ thể và ví dụ minh hoạ

Ví dụ minh hoạ 1: Có 7 học sinh, chọn ra 3 bạn để đi thi. Có bao nhiêu cách chọn?

1. Xác định tổng số đối tượng:$n = 7$(học sinh), cần chọn$k = 3$.
2. Không phân biệt thứ tự chọn, dùng công thức tổ hợp:$C(7,3)$.
3. Tính giá trị:$C(7,3) = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{5040}{6 \cdot 24} = 35$
4. Đáp án: Có 35 cách chọn 3 học sinh từ 7 học sinh.

Ví dụ minh hoạ 2 (ràng buộc): Có 8 bạn gồm 5 nam và 3 nữ, chọn ra 4 bạn đi tham quan; trong đó phải có ít nhất 1 nữ. Có bao nhiêu cách chọn?

1. Gọi số nữ được chọn là $i$(1 \leq i \leq 3)$. Khi đó số nam là$4-i$.
2. Trường hợp 1:$i = 1$. Chọn 1 nữ ($C(3,1)=3$), 3 nam ($C(5,3)=10$). Số cách:$3 \times 10 = 30$
3. Trường hợp 2:$i = 2$. Chọn 2 nữ ($C(3,2)=3$), 2 nam ($C(5,2)=10$), tổng:$3 \times 10=30$
4. Trường hợp 3:$i=3$. Chọn 3 nữ ($C(3,3)=1$), 1 nam ($C(5,1)=5$), tổng:$1 \times 5=5$
5. Cộng các trường hợp:$30+30+5=65$cách chọn.

Ví dụ tổng quát ở các bước trên giúp học sinh thấy rõ quy trình: xác định bài toán loại nào, có ràng buộc gì, chia trường hợp (nếu cần), vận dụng tổ hợp, và tính toán cẩn thận từng trường hợp.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổ hợp cơ bản:$C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Tính chất đối xứng:$C(n, k) = C(n, n-k)$
• Tính chất Pascal:$C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)$
• Công thức phép cộng: Nếu có nhiều trường hợp không giao nhau, tổng số cách là tổng các cách từng trường hợp.
• Công thức phép nhân: Nếu chọn liên tiếp các bước mà các bước độc lập nhau, tổng số cách là tích số cách mỗi bước.
• Kỹ thuật chọn bổ sung: Thường dùng khi muốn đếm số cách “không có A” bằng cách lấy tổng trừ đi số cách “có A”.

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Chọn có ràng buộc: Dùng kỹ thuật chia trường hợp, chọn từng nhóm trước hoặc sau. Ví dụ, chọn tổ ít nhất 2 nữ,...
• Chọn không có mặt hai phần tử nào đó: Dùng chọn bổ sung hoặc loại trường hợp vi phạm.
• Chọn nhiều nhóm từ cùng một tập: Dùng công thức phân chia hoặc phối hợp nhiều phép tổ hợp/phép hoán vị phù hợp.
• Dùng tính chất đối xứng để giảm lượng tính toán khi$k > n-k$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1: Lớp 10A có 12 học sinh, chọn 5 bạn đi tham quan. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

1. Tổng số học sinh:$n=12$, cần chọn$k=5$.
2. Dùng công thức:$C(12,5) = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = 792$

Bài tập mẫu 2: Trong 15 học sinh có 9 nam, 6 nữ. Chọn 6 học sinh đi dự hội thảo, trong đó phải có ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

1. Gọi số nữ chọn là $i$,$2 \leq i \leq 6$. Khi đó số nam là $6-i$.
2. Tính các trường hợp:
3. $i=2$: Chọn 2 nữ ($C(6,2)=15$), 4 nam ($C(9,4)=126$), tổng$= 15 \times 126 = 1890$
4. $i=3$:$C(6,3)=20$,$C(9,3)=84$,$20 \times 84=1680$
5. $i=4$:$C(6,4)=15$,$C(9,2)=36$,$15 \times 36=540$
6. $i=5$:$C(6,5)=6$,$C(9,1)=9$,$6 \times 9=54$
7. $i=6$:$C(6,6)=1$,$C(9,0)=1$,$1 \times 1=1$
8. Tổng số cách:$1890 + 1680 + 540 + 54 + 1 = 4165$cách.

8. Bài tập thực hành tự luyện

• Cho 10 cuốn sách, chọn 4 cuốn đem tặng bạn. Hỏi có bao nhiêu cách?
• Một lớp có 7 bạn nam và 5 bạn nữ. Chọn ra 3 nam và 2 nữ để lập đội thi đấu.
• Từ 8 người, chọn ra 5 người sao cho trong đó có ít nhất 2 nữ (biết có 3 nữ trong nhóm).
• Một tập thể có 12 học sinh. Hỏi số cách chọn một nhóm 6 người không có hai học sinh tên giống nhau (giả sử chỉ có 2 bạn tên giống nhau trong lớp).

9. Mẹo, lưu ý và tránh sai lầm phổ biến

• Phân biệt rõ bài toán “chọn” (tổ hợp) và “xếp” (hoán vị, chỉnh hợp); nếu có phân biệt thứ tự thì KHÔNG dùng$C(n, k)$.
• Chỉ dùng$C(n, k)$khi$0 \leq k \leq n$. Nếu$k > n$, số cách chọn là 0.
• Tận dụng tính chất đối xứng để tính nhẩm nhanh khi$k$gần$n/2$.
• Nếu bài toán có nhiều điều kiện, nên chia trường hợp hợp lý để tránh thiếu/sai.
• Kiểm tra kỹ bài toán: tổng các trường hợp đã xét đủ và không trùng lặp.

Hy vọng qua bài viết này, các bạn học sinh đã nắm được nền tảng lý thuyết cũng như chiến lược và kỹ thuật để làm chủ dạng bài toán "cách giải bài toán hàm tổ hợp C(n, k)", giúp việc học và luyện tập tổ hợp ở lớp 10 trở nên hiệu quả, vững vàng!