1. Giới thiệu về bài toán kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

Trong chương trình Toán lớp 10, các bài toán về 'kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân' xuất hiện rất nhiều trong chủ đề Tổ hợp, Xác suất và các bài toán đếm. Đây là một dạng bài gắn liền với cuộc sống thực tế như phân chia nhóm, xếp chỗ, lập lịch... Việc giải thành thạo loại bài này giúp học sinh rèn luyện tư duy phân tích, biết xác định xem nên sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoặc kết hợp cả hai, từ đó trở thành nền tảng quan trọng cho những bài toán tổng quát và khó hơn sau này.

2. Đặc điểm nhận biết bài toán kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

• Bài toán đặt ra yêu cầu đếm số cách thực hiện một công việc có thể chia thành nhiều trường hợp (quy tắc cộng) và mỗi trường hợp lại gồm các bước thực hiện liên tiếp (quy tắc nhân).
• Mỗi trường hợp (phương án) không đồng thời xảy ra cùng lúc.
• Có thể xuất hiện các điều kiện ràng buộc khiến phải xét tách nhiều trường hợp nhỏ bên trong một trường hợp lớn.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

- Đọc kỹ đề, xác định rõ yêu cầu bài toán.
- Phân tích xem công việc được mô tả có thể thực hiện theo những con đường/phương án nào.
- Xác định từng con đường riêng biệt (không trùng lặp).
- Trong mỗi con đường, xác định các bước liên tiếp phải thực hiện và số cách thực hiện mỗi bước.
- Ứng dụng quy tắc nhân với các bước liên tiếp trong một trường hợp.
- Ứng dụng quy tắc cộng để cộng số cách của từng trường hợp/phương án lại với nhau.
- Kiểm tra kết quả, đảm bảo các trường hợp xét đã đầy đủ, không trùng hoặc bỏ sót.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Một lớp có 4 bạn nam (N) và 3 bạn nữ (M). Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 bạn để đi dự thi sao cho có ít nhất một bạn nữ?

• Bước 1: Phân tích các trường hợp có thể xảy ra (theo yêu cầu có ít nhất một bạn nữ):
• Trường hợp 1: Chọn 2 bạn nữ.
• Trường hợp 2: Chọn 1 nam và 1 nữ.

- Bước 2: Tính số cách cho từng trường hợp (quy tắc nhân):

• Trường hợp 1: Chọn 2 bạn nữ từ 3 bạn nữ: số cách là $C_3^2 = 3$
• Trường hợp 2: Chọn 1 nam từ 4 bạn nam, và 1 nữ từ 3 bạn nữ: số cách là $C_4^1 \times C_3^1 = 4 \times 3 = 12$

- Bước 3: Cộng số cách của các trường hợp (quy tắc cộng):

- Bước 4: Đáp số: Có 15 cách chọn.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổ hợp:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Số hoán vị $k$phần tử:$P_k = k!$
• Quy tắc cộng: Nếu công việc$A$có $m$cách thực hiện, công việc$B$có $n$cách, và hai công việc không đồng thời xảy ra, thì tổng số cách là $m + n$.
• Quy tắc nhân: Nếu công việc$A$có $m$cách thực hiện, với mỗi cách của$A$thì $B$có $n$cách, thì tổng số cách là $m \times n$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Có thể gặp các biến thể như:
- Số lượng nhóm hoặc đối tượng thay đổi
- Thêm/bớt điều kiện ràng buộc (ví dụ: chọn ít nhất, nhiều nhất, hoặc chọn kèm theo điều kiện)
- Cần xét thêm trường hợp loại trừ (ví dụ: không để hai đối tượng cùng loại được chọn cùng nhau)

Khi đó, học sinh cần bình tĩnh liệt kê ra đầy đủ các trường hợp (có thể dùng bảng, sơ đồ cây) và sử dụng linh hoạt hai quy tắc theo từng trường hợp.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán mẫu:
Một lớp học có 5 bạn nam và 4 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 bạn nam và 1 bạn nữ?

• Bước 1: Phân tích các trường hợp lựa chọn có thể xảy ra:
• + Chọn 1 nam, 2 nữ
• + Chọn 2 nam, 1 nữ

Bước 2: Tính từng trường hợp

• Chọn 1 nam từ 5 bạn nam, 2 nữ từ 4 bạn nữ:$C_5^1 \times C_4^2 = 5 \times 6 = 30$
• Chọn 2 nam từ 5 bạn nam, 1 nữ từ 4 bạn nữ:$C_5^2 \times C_4^1 = 10 \times 4 = 40$

Bước 3: Cộng lại số cách

Bước 4: Kết luận

Vậy có 70 cách chọn một nhóm học sinh theo yêu cầu.

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Từ 6 bạn nam và 5 bạn nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 4 người sao cho trong nhóm có ít nhất 2 bạn nữ?
2. Một dãy số được tạo thành từ 3 chữ số, mỗi chữ số có thể là 1, 2, 3 hoặc 4, hỏi có bao nhiêu dãy số thỏa mãn:
a) Các chữ số không lặp lại.
b) Có ít nhất 1 chữ số là 1?
Lưu ý: Giải chi tiết sử dụng đúng quy tắc cộng và nhân cho từng trường hợp

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn đọc kỹ đề bài để xem các trường hợp mình đã xét là đầy đủ chưa.
• Tránh trùng lặp các trường hợp khi áp dụng quy tắc cộng.
• Không áp dụng cả hai quy tắc cho cùng một bước khiến kết quả bị đếm trùng.
• Thường xuyên vẽ sơ đồ cây để minh họa các lựa chọn, giúp tránh bỏ sót.
• Nên kiểm nghiệm bằng phương pháp bổ sung/điều kiện ngược lại với các bài toán phức tạp.