Blog

Lớp 10

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Phương Trình Parabol Lớp 10: Hướng Dẫn Từng Bước Hiệu Quả

T
Tác giả
•
•11 phút đọc
Chia sẻ:
11 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán phương trình parabol lớp 10

Trong chương trình Toán lớp 10, phương trình parabol là dạng bài đặc trưng, thường gặp trong phần Hàm số bậc hai và Hình học tọa độ. Việc hiểu và giải quyết được loại bài này giúp học sinh nắm vững kiến thức nền tảng để phát triển kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình và vận dụng vào thực tiễn. Đây cũng là nội dung trọng tâm trong các đề thi kiểm tra, thi học kỳ và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 nâng cao.

2. Đặc điểm của bài toán phương trình parabol

Bài toán phương trình parabol thường xoay quanh các yêu cầu như xác định phương trình parabol cho trước một hoặc nhiều điều kiện (điểm thuộc, tiếp xúc, trục đối xứng), tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm, đường chuẩn, viết phương trình khi biết các yếu tố đặc biệt hoặc giải các bài toán tương giao với đường thẳng/hàm số khác.

  • Phương trình tổng quát parabol dạngy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + choặcx=ay2+by+cx = ay^2 + by + c.
  • Các yếu tố đặc biệt: đỉnh, trục đối xứng, tiêu điểm, đường chuẩn.
  • Bài toán thường kết hợp kiến thức về phương trình/hệ phương trình bậc hai, giải tọa độ, và hình học giải tích.

    • 3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận và giải bài toán

  • Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định yêu cầu bài toán (tìm phương trình, tọa độ, cắt nhau…).
  • Bước 2: Xác định dạng chuẩn của phương trình parabol cần tìm.
  • Bước 3: Lập hệ hoặc phương trình sử dụng dữ kiện đề bài (điểm thuộc, tính chất tiếp xúc, trục đối xứng...).
  • Bước 4: Giải hệ/phương trình, tìm ẩn, kết luận, kiểm tra lại kết quả.

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Viết phương trình parabol biết đỉnh và đi qua một điểm

    Đề: Viết phương trình parabol có đỉnh tạiA(1;2)A(1;2)và đi qua điểmB(2;5)B(2;5).

  • Bước 1: Công thức tổng quát với đỉnh(x0,y0)(x_0, y_0):y=a(x−x0)2+y0y = a(x - x_0)^2 + y_0
  • Bước 2: ThayA(1,2)A(1,2)vào vị trí đỉnh:y=a(x−1)2+2y = a(x-1)^2 + 2
  • Bước 3: Thay tọa độ B(2;5)B(2;5)vào để tìmaa:

    5=a(2−1)2+25=a(1)2+2a=35 = a(2-1)^2 + 2 \\ 5 = a(1)^2 + 2 \\a = 3
  • Bước 4: Phương trình cần tìm là y=3(x−1)2+2y = 3(x-1)^2 + 2.

    • Ví dụ 2: Xác định phương trình parabol cắt trục hoành tại hai điểm đã biết

    Đề: Tìm phương trình parabol dạngy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c đi qua 3 điểmA(−1;0)A(-1; 0),B(2;0)B(2;0)và C(1;1)C(1;1).

  • - Thay từng điểm vào phương trình để lập hệ:

    A(−1;0):<br>0=a(−1)2+b(−1)+c=a−b+cA(-1;0):<br>0 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c

    B(2;0):
    0 = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c<br><br>C(1;1):<br>1=a(1)2+b(1)+c=a+b+c<br><br>C(1;1):<br>1 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c
  • - Lập hệ và giải:

    \[
    \begin{cases}
    a - b + c = 0 \\ 4a + 2b + c = 0 \\a + b + c = 1
    \\\end{cases}
    \]
  • Giải hệ:

    từ (1) và (3):
    (a+b+c)−(a−b+c)=1−02b=1b=12(a + b + c) - (a - b + c) = 1 - 0 \\ 2b = 1 \\b = \frac{1}{2}


    Thaybbvào (1):
    a−12+c=0a+c=12a - \frac{1}{2} + c = 0 \\a + c = \frac{1}{2}


    Từ (2):
    4a+2b+c=04a+2∗12+c=04a+1+c=04a+c=−14a + 2b + c = 0 \\ 4a + 2 * \frac{1}{2} + c = 0 \\ 4a + 1 + c = 0 \\ 4a + c = -1


    Trừ (4a + c) với (a + c):
    4a+c−(a+c)=−1−123a=−32a=−124a + c - (a + c) = -1 - \frac{1}{2} \\ 3a = -\frac{3}{2} \\a = -\frac{1}{2}


    Thayaavàoa+c=12a + c = \frac{1}{2}:
    −12+c=12c=1-\frac{1}{2} + c = \frac{1}{2} \\c = 1


    Vậy:a=−12a = -\frac{1}{2},b=12b = \frac{1}{2},c=1c = 1.

    Phương trình parabol:y=−12x2+12x+1y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 1

    • 5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Phương trình tổng quát:y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c(trục đối xứngx=−b2ax = -\frac{b}{2a})
  • Công thức đỉnh: ĐỉnhI(−b2a,−Δ4a)I( -\frac{b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}), vớiΔ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.
  • Khoảng xác định: vớia<br>e0a <br>e 0, hàm xác định với mọixx.
  • Cách tìm tiêu điểm và đường chuẩn (thường nâng cao):y=a(x−h)2+ky = a(x-h)^2 + kcó tiêu điểmF(h,k+14a)F(h, k+\frac{1}{4a}), đường chuẩny=k−14ay = k-\frac{1}{4a}(nếu parabol hướng lên hoặc xuống).
  • Biểu thức nghiệm giao parabol với đường thẳngy=mx+ny = mx + n: giảiax2+(b−m)x+(c−n)=0ax^2 + (b-m)x + (c-n) = 0.

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • Bài toán tìm phương trình parabol cho trước điểm thuộc kèm theo điều kiện tiếp tuyến: Áp dụng công thức tiếp tuyến của parabol và điều kiện điểm thuộc.
  • Bài toán yêu cầu tìm phương trình tiếp tuyến tại điểmM(x0,y0)M(x_0, y_0)trên parabol: Dùng đạo hàm, hoặc công thức tiếp tuyếny=f′(x0)(x−x0)+y0y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0vớiy=f(x)=ax2+bx+cy = f(x) = ax^2 + bx + cnênf′(x0)=2ax0+bf'(x_0) = 2ax_0 + b.
  • Tìm điều kiệnmm để đường thẳngy=mx+ny = mx + ncắt parabol tại hai điểm: Giải bất phương trình để phương trình bậc hai tương ứng có hai nghiệm phân biệt.

    • 7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

  • Bài 1: Viết phương trình parabol có trục đối xứngx=2x = 2, đi quaC(2,3)C(2,3)và đỉnhA(2,3)A(2,3).

    - Vì trục đối xứng đi qua đỉnh nên dạngy=a(x−2)2+3y = a(x-2)^2 + 3.
    - Đã đủ 1 điểm, để xác địnhaa, cần thêm 1 điểm thuộc parabol (nếu chỉ cho 1 điểm và đỉnh trùng nhau thì có vô số parabol – đề thường phải cung cấp đủ dữ kiện).
  • Bài 2: Viết phương trình parabol đi quaA(0,1),B(1,2),C(2,5)A(0,1), B(1,2), C(2,5).

    Thay tọa độ 3 điểm vàoy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c:

    A(0,1)→1=a⋅02+b⋅0+c  ⟹  c=1A(0,1) \to 1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c=1
    B(1,2)→2=a⋅12+b⋅1+1B(1,2) \to 2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1
    C(2,5)→5=a⋅4+b⋅2+1C(2,5) \to 5 = a \cdot 4 + b \cdot 2 + 1

    Từ B(1,2):a+b+1=2  ⟹  a+b=1B(1,2): a + b + 1 = 2 \implies a + b = 1
    Từ C(2,5):4a+2b+1=5  ⟹  4a+2b=4  ⟹  2a+b=2C(2,5): 4a + 2b + 1 = 5 \implies 4a + 2b = 4 \implies 2a + b = 2

    Trừ 2 phương trình:(2a+b)−(a+b)=2−1  ⟹  a=1(2a + b) - (a + b) = 2 - 1 \implies a = 1
    Thaya=1a = 1vàoa+b=1  ⟹  b=0a + b = 1 \implies b = 0

    Vậyc=1,b=0,a=1c = 1, b = 0, a = 1

    Phương trình:y=x2+1y = x^2 + 1

    • 8. Bài tập thực hành tự luyện

  • Bài 1: Viết phương trình parabol có đỉnhI(3;2)I(3;2), đi qua điểmM(4;5)M(4;5).
  • Bài 2: Tìm phương trình parabol dạngy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cbiết đi qua các điểmA(−2;0)A(-2;0),B(1;0)B(1;0),C(0;1)C(0;1).
  • Bài 3: Xác định phương trình đường thẳngy=mx+ny = mx + ncắt paraboly=x2−2x+3y = x^2 - 2x + 3tại hai điểm phân biệt.
  • Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với paraboly=2x2−4x+1y = 2x^2 - 4x + 1tại điểmM(1;−1)M(1; -1).

    • 9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán phương trình parabol

  • Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách thay các điểm đã biết vào phương trình cuối cùng.
  • Chú ý điều kiện đủ số lượng điểm để xác định duy nhất phương trình parabol (cần đỉnh và điểm thuộc hoặc 3 điểm không thẳng hàng).
  • Cẩn thận khi giải hệ phương trình, tránh sai dấu.
  • Chia nhỏ bài toán thành các bước nhỏ: xác định dạng phương trình, gán điều kiện từng điểm, lập hệ, kiểm tra kết quả.
  • Phân biệt giữa các dạng parabol (yytheoxxhayxxtheoyy), đọc đề kỹ tránh nhầm lẫn.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".