Cách giải bài toán phương trình parabol lớp 10 – Hướng dẫn chi tiết

1. Giới thiệu về bài toán phương trình parabol lớp 10

Trong chương trình Toán lớp 10, phương trình parabol là dạng bài đặc trưng, thường gặp trong phần Hàm số bậc hai và Hình học tọa độ. Việc hiểu và giải quyết được loại bài này giúp học sinh nắm vững kiến thức nền tảng để phát triển kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình và vận dụng vào thực tiễn. Đây cũng là nội dung trọng tâm trong các đề thi kiểm tra, thi học kỳ và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 nâng cao.

2. Đặc điểm của bài toán phương trình parabol

Bài toán phương trình parabol thường xoay quanh các yêu cầu như xác định phương trình parabol cho trước một hoặc nhiều điều kiện (điểm thuộc, tiếp xúc, trục đối xứng), tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm, đường chuẩn, viết phương trình khi biết các yếu tố đặc biệt hoặc giải các bài toán tương giao với đường thẳng/hàm số khác.

Phương trình tổng quát parabol dạng

y = ax^2 + bx + c

hoặc

x = ay^2 + by + c

Các yếu tố đặc biệt: đỉnh, trục đối xứng, tiêu điểm, đường chuẩn.

Bài toán thường kết hợp kiến thức về phương trình/hệ phương trình bậc hai, giải tọa độ, và hình học giải tích.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận và giải bài toán

Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định yêu cầu bài toán (tìm phương trình, tọa độ, cắt nhau…).

Bước 2: Xác định dạng chuẩn của phương trình parabol cần tìm.

Bước 3: Lập hệ hoặc phương trình sử dụng dữ kiện đề bài (điểm thuộc, tính chất tiếp xúc, trục đối xứng...).

Bước 4: Giải hệ/phương trình, tìm ẩn, kết luận, kiểm tra lại kết quả.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình parabol biết đỉnh và đi qua một điểm

Đề: Viết phương trình parabol có đỉnh tại $A(1;2)$ và đi qua điểm $B(2;5)$ .

Bước 1: Công thức tổng quát với đỉnh

(x_0, y_0)

y = a(x - x_0)^2 + y_0

Bước 2: Thay

A(1,2)

vào vị trí đỉnh:

y = a(x-1)^2 + 2

Bước 3: Thay tọa độ

B(2;5)

vào để tìm

a

5 = a(2-1)^2 + 2 \\ 5 = a(1)^2 + 2 \\a = 3

Bước 4: Phương trình cần tìm là

y = 3(x-1)^2 + 2

Ví dụ 2: Xác định phương trình parabol cắt trục hoành tại hai điểm đã biết

Đề: Tìm phương trình parabol dạng $y = ax^2 + bx + c$ đi qua 3 điểm $A(-1; 0)$ , $B(2;0)$ và $C(1;1)$ .

- Thay từng điểm vào phương trình để lập hệ:

- Lập hệ và giải:

\begin{cases} a - b + c = 0 \\ 4a + 2b + c = 0 \\a + b + c = 1 \\\end{cases}

Giải hệ:

từ (1) và (3):

(a + b + c) - (a - b + c) = 1 - 0 \\ 2b = 1 \\b = \frac{1}{2}

Thay

b

vào (1):

a - \frac{1}{2} + c = 0 \\a + c = \frac{1}{2}

Từ (2):

4a + 2b + c = 0 \\ 4a + 2 * \frac{1}{2} + c = 0 \\ 4a + 1 + c = 0 \\ 4a + c = -1

Trừ (4a + c) với (a + c):

4a + c - (a + c) = -1 - \frac{1}{2} \\ 3a = -\frac{3}{2} \\a = -\frac{1}{2}

Thay

a

vào

a + c = \frac{1}{2}

-\frac{1}{2} + c = \frac{1}{2} \\c = 1

Vậy:

a = -\frac{1}{2}

b = \frac{1}{2}

c = 1

.

Phương trình parabol:

y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 1

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Phương trình tổng quát:

y = ax^2 + bx + c

(trục đối xứng

x = -\frac{b}{2a}

)

Công thức đỉnh: Đỉnh

I( -\frac{b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a})

, với

\Delta = b^2 - 4ac

Khoảng xác định: với

a \ne 0

, hàm xác định với mọi

x

Cách tìm tiêu điểm và đường chuẩn (thường nâng cao):

y = a(x-h)^2 + k

có tiêu điểm

F(h, k+\frac{1}{4a})

, đường chuẩn

y = k-\frac{1}{4a}

(nếu parabol hướng lên hoặc xuống).

y = x^2 + x

và đường tiếp tuyến tại điểm

M(1,2)

với hệ số góc

f'(1) = 3

và phương trình

y = 3(x - 1) + 2

" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Đồ thị hàm số

y = x^2 + x

và đường tiếp tuyến tại điểm

M(1,2)

với hệ số góc

f'(1) = 3

và phương trình

y = 3(x - 1) + 2

Đồ thị hàm số y = -0.50x² + 0.50x + 1.00 đi qua ba điểm A(-1;0), B(2;0), C(1;1), kèm đánh dấu vị trí đỉnh và vùng bao quanh ba điểm

Biểu thức nghiệm giao parabol với đường thẳng

y = mx + n

: giải

ax^2 + (b-m)x + (c-n) = 0

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Bài toán tìm phương trình parabol cho trước điểm thuộc kèm theo điều kiện tiếp tuyến: Áp dụng công thức tiếp tuyến của parabol và điều kiện điểm thuộc.

Bài toán yêu cầu tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm

M(x_0, y_0)

trên parabol: Dùng đạo hàm, hoặc công thức tiếp tuyến

y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0

với

y = f(x) = ax^2 + bx + c

nên

f'(x_0) = 2ax_0 + b

Tìm điều kiện

m

để đường thẳng

y = mx + n

cắt parabol tại hai điểm: Giải bất phương trình để phương trình bậc hai tương ứng có hai nghiệm phân biệt.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài 1: Viết phương trình parabol có trục đối xứng

x = 2

, đi qua

C(2,3)

và đỉnh

A(2,3)

.

- Vì trục đối xứng đi qua đỉnh nên dạng

y = a(x-2)^2 + 3

.
- Đã đủ 1 điểm, để xác định

a

, cần thêm 1 điểm thuộc parabol (nếu chỉ cho 1 điểm và đỉnh trùng nhau thì có vô số parabol – đề thường phải cung cấp đủ dữ kiện).

Bài 2: Viết phương trình parabol đi qua

A(0,1), B(1,2), C(2,5)

.

Thay tọa độ 3 điểm vào

y = ax^2 + bx + c

A(0,1) \to 1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c=1

B(1,2) \to 2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1

C(2,5) \to 5 = a \cdot 4 + b \cdot 2 + 1

Từ

B(1,2): a + b + 1 = 2 \implies a + b = 1

Từ

C(2,5): 4a + 2b + 1 = 5 \implies 4a + 2b = 4 \implies 2a + b = 2

Trừ 2 phương trình:

(2a + b) - (a + b) = 2 - 1 \implies a = 1

Thay

a = 1

vào

a + b = 1 \implies b = 0

Vậy

c = 1, b = 0, a = 1

Phương trình:

y = x^2 + 1

8. Bài tập thực hành tự luyện

Bài 1: Viết phương trình parabol có đỉnh

I(3;2)

, đi qua điểm

M(4;5)

Bài 2: Tìm phương trình parabol dạng

y = ax^2 + bx + c

biết đi qua các điểm

A(-2;0)

B(1;0)

C(0;1)

Bài 3: Xác định phương trình đường thẳng

y = mx + n

cắt parabol

y = x^2 - 2x + 3

tại hai điểm phân biệt.

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với parabol

y = 2x^2 - 4x + 1

tại điểm

M(1; -1)

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán phương trình parabol

Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách thay các điểm đã biết vào phương trình cuối cùng.

Chú ý điều kiện đủ số lượng điểm để xác định duy nhất phương trình parabol (cần đỉnh và điểm thuộc hoặc 3 điểm không thẳng hàng).

Cẩn thận khi giải hệ phương trình, tránh sai dấu.

Chia nhỏ bài toán thành các bước nhỏ: xác định dạng phương trình, gán điều kiện từng điểm, lập hệ, kiểm tra kết quả.

Phân biệt giữa các dạng parabol (

y

theo

x

hay

x

theo

y

), đọc đề kỹ tránh nhầm lẫn.

Blog

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Phương Trình Parabol Lớp 10: Hướng Dẫn Từng Bước Hiệu Quả

1. Giới thiệu về bài toán phương trình parabol lớp 10

2. Đặc điểm của bài toán phương trình parabol

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận và giải bài toán

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình parabol biết đỉnh và đi qua một điểm

Ví dụ 2: Xác định phương trình parabol cắt trục hoành tại hai điểm đã biết

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

8. Bài tập thực hành tự luyện

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán phương trình parabol

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về bài toán phương trình parabol lớp 10

2. Đặc điểm của bài toán phương trình parabol

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận và giải bài toán

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình parabol biết đỉnh và đi qua một điểm

Ví dụ 2: Xác định phương trình parabol cắt trục hoành tại hai điểm đã biết

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

8. Bài tập thực hành tự luyện

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán phương trình parabol

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi