Cách giải bài toán tính số tổ hợp chập k của n phần tử phân biệt – Chiến lược chi tiết cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu về bài toán và tầm quan trọng

Bài toán tính số tổ hợp chập k của n phần tử phân biệt là một trong những dạng toán cơ bản và quan trọng thuộc chuyên đề Đại số tổ hợp và Xác suất thống kê chương trình Toán 10. Đây là kiểu bài toán giúp rèn luyện tư duy tổ hợp, ứng dụng mạnh mẽ vào thực tế, ví dụ như xếp nhóm làm việc, chọn đại biểu, lập đội hình, xác suất xuất hiện của các sự kiện... Hiểu vững bản chất và cách giải sẽ giúp bạn giải quyết đa dạng các bài toán liên quan và thành thạo các chủ đề phức tạp hơn.

2. Đặc điểm của bài toán tổ hợp chập k của n phân biệt

• • Mỗi phần tử chỉ được chọn một lần (không lặp phần tử).
• • Chỉ quan tâm đến các tập hợp con không thứ tự, tức là hoán đổi vị trí các phần tử không tạo ra tổ hợp mới.
• • 0 ≤ k ≤ n. Khi k > n thì số tổ hợp là 0.

3. Chiến lược tổng thể khi làm bài

• • Xác định rõ n (tổng số phần tử) và k (số phần tử được chọn).
• • Phân biệt bài toán yêu cầu chọn nhóm không thứ tự (tổ hợp) hay có thứ tự (chỉnh hợp).
• • Áp dụng công thức tổ hợp thích hợp.
• • Chú ý đến các điều kiện ràng buộc đặc biệt (nếu có).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

• Bước 1: Xác định n và k từ đề bài.
• Bước 2: Kiểm tra yêu cầu bài toán là tổ hợp.
• Bước 3: Viết công thức số tổ hợp (ký hiệu: C(n, k) hay$\mathrm{C}^k_n$hoặc$\binom{n}{k}$):
• $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$
• Bước 4: Thay số từ đề bài vào công thức, tính kết quả.
• Bước 5: Đáp số và kiểm tra lại nếu cần.

Ví dụ minh họa:

Cho tập hợp A gồm 5 phần tử: {1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 phần tử khác nhau từ A?

• Áp dụng công thức:
• n = 5, k = 3
• $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \, 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10$
• Vậy có 10 cách lựa chọn.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ chủ chốt

• Công thức cơ bản:
• $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$
• $(n!)$ đọc là “n giai thừa”:$n! = n \times (n-1) \times... \times 1$.
• Tính chất đối xứng:$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
• Tính chất Pascal:$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$.

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• • Tổ hợp kèm ràng buộc (chọn phải có phần tử A, không có phần tử B...): Loại phần tử hoặc chia trường hợp thích hợp.
• • Chọn ít nhất/mỗi phần tử một số lần: Dùng phép bù hoặc cộng dồn các trường hợp.
• • Tổ hợp với lặp lại: Dùng tổ hợp lặp, công thức$\binom{n+k-1}{k}$.

$\binom{10}{k}$ với k từ 0 đến 10, minh họa tính chất đối xứng $\binom{10}{k} = \binom{10}{10-k}$ và làm nổi bật cặp giá trị $\binom{10}{3} = \binom{10}{7} = 120$ " title="Hình minh họa: Đồ thị đường biểu diễn hệ số nhị thức $\binom{10}{k}$ với k từ 0 đến 10, minh họa tính chất đối xứng $\binom{10}{k} = \binom{10}{10-k}$ và làm nổi bật cặp giá trị $\binom{10}{3} = \binom{10}{7} = 120$ " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Một lớp học có 12 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ gồm 4 bạn đi dự thi?

• Bước 1: Xác định n = 12, k = 4.
• Bước 2: Bài toán yêu cầu chỉ cần nhóm 4 người, không thứ tự—áp dụng tổ hợp.
• Bước 3: Áp dụng công thức:
• $\binom{12}{4} = \frac{12!}{4!\,8!} = \frac{479001600}{24 \times 40320} = \frac{479001600}{967680} = 495$
• Kết luận: Có 495 cách chọn tổ đi thi.

8. Bài tập thực hành cho học sinh

• 1. Có 9 quyển sách. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 quyển để đem tặng bạn?
• 2. Từ 15 học sinh, chọn một nhóm 5 bạn nhận học bổng. Có bao nhiêu cách chọn?
• 3. Một ban nhạc gồm 7 thành viên, cần chọn 2 người làm trưởng nhóm và phó nhóm (lưu ý: vị trí phân biệt, đây là chỉnh hợp!)
• 4. Cho tập hợp {A, B, C, D, E, F}, có bao nhiêu cách chọn 4 phần tử?

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• • Đọc kỹ đề: Phân biệt chọn không thứ tự (tổ hợp) và có thứ tự (chỉnh hợp).
• • Không áp dụng công thức tổ hợp khi có lặp phần tử (nếu đề không nói rõ).
• • Chú ý tính nhầm giai thừa hoặc quên nhân/chi cho đúng!
• • Khi$k = 0$hoặc$k = n$thì $\binom{n}{k} = 1$.
• • Không dùng công thức liên quan trực tiếp cho bài toán chọn có ràng buộc mà chưa phân tích rõ các trường hợp.

Tổng kết

Hiểu đúng công thức, nắm vững bản chất của tổ hợp giúp bạn giải bài toán hiệu quả và tránh sai sót. Hãy luyện tập nhiều dạng bài để rèn sự nhạy bén và kỹ năng giải quyết vấn đề toán học!