1. Giới thiệu về bài toán vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Bài toán vẽ đồ thị hàm số bậc hai có dạng tổng quát là $y = ax^2 + bx + c$với$a, b, c$là các hằng số đã biết. Đây là một dạng toán nền tảng, xuất hiện thường xuyên trong chương trình Toán lớp 10 và các kỳ thi. Hiểu và biếtcách giải bài toán vẽ đồ thị hàm số y = ax^2 + bx + c giúp học sinh hiểu sâu hơn về hàm số, biết xác định hình dạng, vị trí của parabol và vận dụng vào giải toán thực tế.

2. Phân tích đặc điểm hàm bậc hai

Hàm số $y = ax^2 + bx + c$có một số đặc điểm nổi bật:

• Đồ thị là một đường Parabol.
• Nếu$a > 0$: Parabol hướng lên trên, nằm phía trên trục hoành.
• Nếu$a < 0$: Parabol hướng xuống dưới, nằm phía dưới trục hoành.
• Đỉnh Parabol là điểm cực trị duy nhất.
• Trục đối xứng song song với trục$y$, tạo bởi$x = -\frac{b}{2a}$.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Để vẽ chính xác đồ thị hàm số bậc hai, học sinh nên tuân theo các bước cơ bản sau:

• Xác định hệ số $a, b, c$và nhận diện hướng mở của parabol.
• Tìm toạ độ đỉnh, trục đối xứng của parabol.
• Tính giá trị tại một số điểm đặc biệt: toạ độ giao với trục$Oy$, giao với trục$Ox$(nếu có).
• Vẽ phác thảo đồ thị dựa trên các thông tin trên.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh hoạ

Bước 1: Xác định hệ số và hình dạng đồ thị

Giả sử bài toán: Vẽ đồ thị hàm số $y = 2x^2 - 4x + 1$.

-$a = 2 > 0$, Parabol hướng lên trên.

Bước 2: Tìm toạ độ đỉnh và trục đối xứng

Toạ độ đỉnh:

Áp dụng công thức:

$x_{dinh} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1$

$y_{dinh} = a(x_{dinh})^2 + b(x_{dinh}) + c = 2 \times 1^2 - 4 \times 1 + 1 = -1$

→ Toạ độ đỉnh:$(1; -1)$.
Trục đối xứng:$x = 1$

Bước 3: Tìm các giao điểm với trục tọa độ

- Giao với trục$Oy$(tại$x=0$):

$y = 2 \times 0^2 - 4 \times 0 + 1 = 1$
→ Giao điểm:$(0;1)$.

- Giao với trục$Ox$(tại$y=0$): Giải phương trình$2x^2 - 4x + 1 = 0$:

$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8$

→ Có hai nghiệm:
$x_1 = \frac{4 - \sqrt{8}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,29 <br />$x_2 = \frac{4 + \sqrt{8}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1,71$

→ Hai giao điểm với$Ox$là khoảng$(0,29;0)$và $(1,71;0)$.

Bước 4: Lập bảng giá trị (bảng biến thiên đơn giản)

Chọn một vài giá trị xung quanh đỉnh và hai phía để tính giá trị $y$tương ứng:

|$x$| 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|----|----|-----|----|------|---|
|$y$| 1 | -0,5 | -1 | -0,5 | 1 |

Bước 5: Vẽ đồ thị

Dựa trên đỉnh, các giao điểm và bảng giá trị, vẽ một đường cong Parabol mềm mại đi qua các điểm trên giấy kẻ ô ly hoặc trục tọa độ.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tính đỉnh:$x_{dinh} = -\frac{b}{2a}$,$y_{dinh} = a(x_{dinh})^2 + b(x_{dinh}) + c$
• Công thức nghiệm phương trình bậc hai: $ax^2+bx+c = 0$có nghiệm$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$với$\Delta = b^2 - 4ac$
• Trục đối xứng:$x = x_{dinh}$

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Hệ số $a$ âm: Parabol hướng xuống, các bước vẽ không đổi.
• Phương trình không có nghiệm thực: Parabol không cắt trục$Ox$.
• Thay đổi$b$hoặc$c$làm parabol dịch chuyển theo phương$x$hoặc$y$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Đề bài: Vẽ đồ thị hàm số $y = -x^2 + 2x + 3$.

• -$a = -1 < 0$, parabol hướng xuống.
• - Toạ độ đỉnh:

$x_{dinh} = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1$

$y_{dinh} = -(1)^2 + 2 \times 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$

• - Giao với trục$Oy$:$y = 3$khi$x=0$→$(0;3)$
• - Giao với trục$Ox$:

$\Delta = 2^2 - 4 \times (-1) \times 3 = 4 + 12 = 16$

$x_1 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3 \,; \, x_2 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1$

• - Vẽ bảng giá trị với$x = -1; 0; 1; 2; 3$;$y$tương ứng$0; 3; 4; 3; 0$.

8. Bài tập thực hành

• Vẽ đồ thị hàm số $y = 0,5x^2 - x - 2$.
• Vẽ đồ thị $y = -2x^2 + 4$.
• Vẽ đồ thị $y = x^2 - 4x + 5$và xác định vị trí đỉnh so với trục tọa độ.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Cẩn thận dấu của hệ số $a$ để vẽ đúng chiều parabol.
• Không bỏ qua bước tính đỉnh và các giao điểm.
• Chọn nhiều điểm$x$quanh đỉnh để vẽ đồ thị chính xác hơn.
• Trình bày bảng giá trị rõ ràng và kiểm tra lại phép tính.