Blog

Lớp 10

Chiến lược giải quyết bài toán “Giải tam giác theo các trường hợp đã biết” cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
•
•9 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán "Giải tam giác theo các trường hợp đã biết"

Bài toán "Giải tam giác theo các trường hợp đã biết" là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, đặc biệt thuộc phần Hình học và Lượng giác. Đây là những bài toán yêu cầu xác định hoàn toàn một tam giác (tức là tìm đủ các cạnh và các góc còn thiếu của tam giác) khi đã biết trước một số yếu tố (cạnh, góc) của tam giác đó. Việc giải tam giác có ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế và là nền tảng quan trọng cho việc học các kiến thức lượng giác, hình học không gian cũng như các bài toán ứng dụng.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán giải tam giác

Mỗi bài toán giải tam giác đều cung cấp một số yếu tố đã biết (có thể là 2 cạnh và 1 góc, 3 cạnh, 2 góc và 1 cạnh, hoặc 1 cạnh với 2 góc kề,...) và yêu cầu xác định các yếu tố còn lại. Tùy từng trường hợp đã biết mà phương pháp giải sẽ khác nhau, chủ yếu là vận dụng các công thức lượng giác: định lý sin, định lý cosin, cùng các tính chất tổng ba góc trong tam giác.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán giải tam giác

- Xác định loại dữ kiện đã cho: Biết mấy cạnh, mấy góc, vị trí các yếu tố đã biết.
- Xác định công thức hoặc định lý phù hợp để giải (định lý sin, định lý cosin,...).
- Giải bài toán theo các bước sau:
+ Trình bày giả thiết bài toán và vẽ hình minh họa.
+ Đặt tên các cạnh, các góc (thường đặtA,B,CA, B, Clà các đỉnh,a,b,ca, b, clần lượt là các cạnh đối diện các đỉnh tương ứng).
+ Lần lượt áp dụng các định lý thích hợp để xác định các yếu tố còn thiếu.
+ Kiểm tra lại kết quả bằng các tính chất của tam giác ( tổng ba góc bằng 180°).

4. Các bước giải bài toán với ví dụ minh họa

Dưới đây là từng trường hợp điển hình:

a. Trường hợp biết ba cạnh (SSS)

Cho tam giácABCABCbiếta=7a = 7,b=8b = 8,c=9c = 9. Hãy giải tam giác đó.

Giải:

  • Sử dụng định lý cosin để tìm các góc:
  • <br>cos⁡A=b2+c2−a22bc=82+92−722⋅8⋅9=64+81−49144=96144=23<br>→A=arccos(23)<br><br>\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{64 + 81 - 49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3} \\<br> \rightarrow A = \\arccos\left(\frac{2}{3}\right) <br>
  • Tương tự tínhB,CB, C:
  • <br>cos⁡B=a2+c2−b22ac=72+92−822⋅7⋅9=49+81−64126=66126=2242<br>B=arccos(1121)<br><br>\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 9^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 64}{126} = \frac{66}{126} = \frac{22}{42} \\<br>B = \\arccos\left(\frac{11}{21}\right)<br>
  • <br>cos⁡C=a2+b2−c22ab=72+82−922⋅7⋅8=49+64−81112=32112=27<br>C=arccos(27)<br><br>\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 8^2 - 9^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7} \\<br>C = \\arccos\left(\frac{2}{7}\right)<br>
  • Kiểm tra tổngA+B+C≈180∘A + B + C \approx 180^\circ.

    • b. Trường hợp biết 2 cạnh và 1 góc xen giữa (SAS)

    Cho tam giácABCABC, biếtb=5b = 5,c=7c = 7,A=60∘A = 60^\circ. Hãy giải tam giác đó.

  • - Tìm cạnh còn lạiaa:
  • <br>a2=b2+c2−2bccos⁡A=52+72−2⋅5⋅7cos⁡60∘=25+49−70⋅0.5=74−35=39<br>a=39≈6.24<br><br>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos 60^\circ = 25 + 49 - 70 \cdot 0.5 = 74 - 35 = 39 \\<br>a = \sqrt{39} \approx 6.24<br>
  • - Dùng định lý sin để tìm gócBB:
  • <br>asin⁡A=bsin⁡B<br>→6.24sin⁡60∘=5sin⁡B<br>→sin⁡B=5⋅sin⁡60∘6.24≈5⋅0.8666.24≈0.694<br>B≈43.95∘<br><br>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \\<br> \rightarrow \frac{6.24}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\sin B} \\<br> \rightarrow \sin B = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{6.24} \approx \frac{5 \cdot 0.866}{6.24} \approx 0.694 \\<br>B \approx 43.95^\circ<br>
  • - TìmC=180∘−A−B≈180∘−60∘−43.95∘=76.05∘C = 180^\circ - A - B \approx 180^\circ - 60^\circ - 43.95^\circ = 76.05^\circ.

    • c. Các trường hợp khác

    Ngoài (SSS) và (SAS), còn các trường hợp (ASA), (AAS), (SSA). Với (ASA) và (AAS), dùng định lý sin, tổng ba góc tam giác để suy ra các giá trị còn thiếu.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • - Định lý sin: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
  • - Định lý cosin:
    a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
    b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B
    c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
  • - Tổng ba góc tam giác:A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ
  • - Diện tích tam giác: S=12absin⁡CS = \frac{1}{2}ab\sin C

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

    - Nếu biết 2 cạnh và 1 góc không xen giữa (SSA): Có thể tồn tại 2, 1 hoặc không có tam giác nào thỏa mãn. Học sinh cần kiểm tra điều kiện tồn tại và sử dụng đúng công thức lượng giác.
    - Nếu biết các yếu tố đặc biệt như đường cao, phân giác, trung tuyến,...: Học sinh cần chuyển đổi về các yếu tố cạnh/góc để áp dụng các công thức trên.
    - Trường hợp tam giác vuông hoặc tam giác cân: Có công thức giản lược đặc biệt, nên tận dụng cho tính toán nhanh hơn.

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài tập: Cho tam giácABCABCbiếtA=45∘A = 45^\circ,B=60∘B = 60^\circ,a=8a = 8. Giải tam giác này.

  • - Tìm gócC=180∘−45∘−60∘=75∘C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ
  • - Dùng định lý sin:
    asin⁡A=bsin⁡B<br>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} <br> \rightarrow \frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}<br>→b=8⋅sin⁡60∘sin⁡45∘=8⋅0.8660.707≈9.8<br> \rightarrow b = 8 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = 8 \cdot \frac{0.866}{0.707} \approx 9.8
  • Tương tự:
    asin⁡A=csin⁡C<br>\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} <br> \rightarrow c = 8 \cdot \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 8 \cdot \frac{0.9659}{0.7071} \approx 10.91$

    • 8. Bài tập thực hành

  • Bài 1: Cho tam giácABCABCbiếta=6a = 6,b=8b = 8,c=10c = 10. Hãy giải tam giác.
  • Bài 2: Cho tam giácABCABCbiếtA=50∘A = 50^\circ,B=60∘B = 60^\circ,a=10a = 10. Hãy giải tam giác.
  • Bài 3: Cho tam giácABCABCbiếtb=7b = 7,c=9c = 9,A=45∘A = 45^\circ. Hãy giải tam giác.
  • Bài 4: Cho tam giácABCABCbiếta=10a = 10,b=12b = 12,C=60∘C = 60^\circ. Hãy giải tam giác.

    • 9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • - Luôn kiểm tra điều kiện tồn tại tam giác trước khi tính toán.
  • - Sau khi tìm các góc, phải kiểm tra tổng ba góc bằng180∘180^\circ.
  • - Đối với bài toán SSA, cần lưu ý bài toán có thể có hai nghiệm hoặc không có nghiệm nào.
  • - Chuyển đổi độ và radian đúng khi sử dụng máy tính.
  • - Khi tính ra sin⁡B>1\sin B > 1hoặc<0< 0 thì bài toán vô nghiệm, cần kiểm tra lại.
  • - Nên vẽ hình chính xác để hỗ trợ kiểm tra nghiệm hợp lý.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".