1. Giới thiệu về bài toán Hàm bậc nhất hai ẩn và vai trò của nó

Bài toán về hàm bậc nhất hai ẩn là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Đại số lớp 10. Hàm bậc nhất hai ẩn là dạng hàm có biểu thức tổng quát:

$f(x, y) = ax + by + c$

Với$a, b, c$là các hằng số và ít nhất một trong hai số $a$hoặc$b$khác$0$. Dạng bài này xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, thi và ứng dụng vào các bài toán thực tiễn như bài toán cực trị (tối ưu hóa), bài toán lập hệ phương trình,... Do đó, việc nắm chắc cách giải bài toán hàm bậc nhất hai ẩn sẽ giúp học sinh phát triển tư duy đại số và kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm của hàm bậc nhất hai ẩn

- Là một hàm tuyến tính của hai biến số $x$và $y$.

- Đồ thị của hàm số $f(x, y) = ax + by + c = 0$là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

- Hàm này không có đỉnh, không có cực đại, cực tiểu nội bộ. Tuy nhiên, khi giới hạn trong miền xác định (ví dụ các bài toán bất đẳng thức, cực trị với điều kiện ràng buộc), giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất thường nằm trên biên của miền xác định.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

- Xác định rõ đề bài yêu cầu gì: Tính giá trị hàm tại một điểm, vẽ đồ thị, tìm điều kiện để hàm thể hiện tính chất đặc biệt (ràng buộc), giải hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất,...

- Chuyển bài toán về dạng chuẩn bằng cách đưa hàm bậc nhất về $f(x, y) = ax + by + c$hoặc các hệ liên quan.

- Áp dụng các kỹ thuật đại số: thế, so sánh, đặt ẩn phụ, sử dụng hệ phương trình, áp dụng điều kiện ràng buộc (bất đẳng thức, miền xác định,...).

- Sử dụng hình học: Vẽ đồ thị, xác định giao điểm, sử dụng tính chất đường thẳng,... để minh họa và giải thích kết luận.

4. Các bước giải quyết bài toán cụ thể và ví dụ minh họa

Xét ví dụ minh họa điển hình:

Ví dụ 1: Cho hàm$f(x, y) = 2x - 3y + 5$. Tính giá trị của hàm khi$x = 1$,$y = 2$.

- Thay$x = 1$,$y = 2$vào$f(x, y)$:$f(1,2) = 2 \times 1 - 3 \times 2 + 5 = 2 - 6 + 5 = 1$

Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm$M(x, y)$sao cho$f(x, y) = 0$, với$f(x, y) = x + 2y - 3$.

- Ta có:$x + 2y - 3 = 0 \Rightarrow x + 2y = 3$. Đó là phương trình đường thẳng trên mặt phẳng Oxy.

Ví dụ 3 (bài toán cực trị với ràng buộc): Tìm giá trị lớn nhất của$f(x, y) = 3x + 5y$với điều kiện$x + y = 6$,$x, y \geq 0$.

- Từ $x + y = 6$,$x, y \geq 0 \Rightarrow 0 \leq x \leq 6$,$y = 6 - x$.

- Thay vào$f(x, y)$:$f(x, y) = 3x + 5y = 3x + 5(6-x) = 3x + 30 - 5x = -2x + 30$.

- Vì $-2x + 30$là hàm bậc nhất giảm theo$x$, giá trị lớn nhất đạt được khi$x$nhỏ nhất (tức$x = 0$), khi đó $y = 6$.

-$f_ext{max} = -2 \times 0 + 30 = 30$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Biểu thức tổng quát:$f(x, y) = ax + by + c$

- Phương trình đường thẳng:$ax + by + c = 0$

- Đổi biến nếu có ràng buộc: chuyển từ hai ẩn về một ẩn để giải các bài cực trị hoặc đơn giản hóa bài toán.

- Sử dụng hệ phương trình: Biến đổi các điều kiện ràng buộc thành hệ, rồi giải hệ để tìm các giá trị thỏa mãn.

- Bài toán cực trị tuyến tính: Giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm tuyến tính trên miền đa giác (giới hạn bởi các bất phương trình) luôn đạt tại các đỉnh của miền đó.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Bài toán tính giá trị tại điểm: Thay số và tính bình thường.

- Tìm tập các điểm thỏa mãn phương trình: Đưa về phương trình đường thẳng hoặc giải hệ.

- Cực trị có điều kiện: Đưa 1 ẩn về 1 biểu thức duy nhất rồi tối ưu hàm bậc nhất 1 biến. Bài toán ràng buộc bất phương trình (miền đa giác): kiểm tra giá trị hàm tại các đỉnh của miền xác định bằng phương pháp thế hoặc sử dụng hình học.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $f(x, y) = -x + 4y - 7$. Hãy:
a) Tính$f(2, -1)$.
b) Xác định tập hợp các điểm$M(x, y)$sao cho$f(x, y) = 0$.
c) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của$f(x, y)$trên tập hợp$x + y = 3$, với$x, y \geq 0$.

Lời giải:

a)$f(2, -1) = -2 + 4 \times (-1) - 7 = -2 - 4 - 7 = -13$

b)$-x + 4y - 7 = 0 \Leftrightarrow -x + 4y = 7 \Leftrightarrow x = 4y - 7$
=> Tập hợp các điểm$M(x, y)$thỏa$x = 4y - 7$là một đường thẳng trên mặt phẳng Oxy.

c) Điều kiện:$x + y = 3$,$x, y \geq 0$ \Rightarrow 0 \leq y \leq 3$,$x = 3 - y$.<br />Thay vào$f(x, y)$:<br />$f(x, y) = -(3-y) + 4y - 7 = -3 + y + 4y -7 = 5y - 10$<br />$y \in [0, 3]$: <br />Khi$y = 0$:$f = -10$<br />Khi$y = 3$:$f = 5 \times 3 - 10 = 15 - 10 = 5$<br />Vậy$f_{min} = -10$tại$y = 0$($x = 3$),$f_{max} = 5$tại$y = 3$($x = 0$).

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Cho$f(x, y) = 2x - y + 3$. Tính$f(0, 2)$.
2. Tìm tất cả $(x, y)$thỏa$3x + y = 7$.
3. Cho$f(x, y) = 4x - 2y + 1$. Tìm giá trị lớn nhất của$f(x, y)$biết$x + y = 5$,$x, y \geq 0$.
4. Cho$f(x, y) = -3x + 2y$. Xác định miền giá trị của$f(x, y)$trên tập$x \in [0, 2], y \in [1, 4]$.

9. Các mẹo và lưu ý quan trọng để tránh sai lầm

- Luôn xác định rõ đề bài yêu cầu gì: Tính giá trị, tìm tập điểm, cực trị, hay điều kiện ràng buộc.

- Khi có điều kiện ràng buộc, hãy chuyển đổi bài toán về hàm 1 ẩn để giải quyết dễ hơn.

- Đừng quên kiểm tra các điều kiện như $x, y \geq 0$hoặc giới hạn miền lấy giá trị khi tìm cực trị.

- Khi giải bài toán cực trị trên miền ràng buộc bởi bất phương trình (miền đa giác), luôn so sánh giá trị hàm tại các đỉnh của miền đó.

- Khi vẽ đồ thị đường thẳng, nên tìm một số điểm đặc biệt: giao với trục Ox ($y=0$), Oy ($x=0$), và tự kiểm chứng lại kết quả.