Blog

Lớp 10

Chiến lược giải quyết bài toán về Hàm đồng biến lớp 10: Hướng dẫn chi tiết kèm bài tập mẫu

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán về hàm đồng biến là một dạng bài cơ bản nhưng nền tảng trong chương trình Toán lớp 10. Bài toán này yêu cầu học sinh xác định khoảng đồng biến/cực trị của một hàm số, thường gặp nhiều trong các đề thi kiểm tra và thi học kỳ. Việc hiểu rõ cách nhận biết, phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn làm chủ các bài toán hàm số nhanh chóng. Tại đây, bạn còn có cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 200+ bài tập đa dạng.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

  • - Các dấu hiệu đặc trưng: Tìm khoảng đồng biến/nghịch biến, xét tính đơn điệu, so sánhf(x1)f(x_1)và f(x2)f(x_2)vớix1<x2x_1 < x_2.
  • - Từ khóa: "Đồng biến", "Nghịch biến", "tìm khoảng đồng biến", "chứng minh hàm đồng biến".
  • - Phân biệt với dạng khác: Khác với tìm max/min hoặc xét liên tục; dạng này chú trọng sự tăng/giảm của hàm.

    • 2.2 Kiến thức cần thiết

  • - Định nghĩa hàm đồng biến:f(x)f(x) đồng biến trên(a;b)(a; b)nếux1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2).
  • - Các công thức đạo hàm cơ bản và dấu hiệu đồng biến: Nếuf′(x)>0f'(x) > 0trên(a;b)(a;b)thì f(x)f(x) đồng biến trên(a;b)(a;b).
  • - Kỹ năng xét dấu đa thức, giải bất phương trình bậc nhất, bậc hai.
  • - Mối liên hệ: Mở rộng sang cực trị, khảo sát đồ thị hàm số.

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

  • - Đọc kỹ đề, xác định rõ hàm số cần xét và yêu cầu: Tìm khoảng đồng biến/nghịch biến? Chứng minh tính đơn điệu?
  • - Xác định loại hàm số (bậc nhất, bậc hai, hữu tỉ…).
  • - Tìm các dữ kiện và giá trị biến cần khảo sát.

    • 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

  • - Chọn cách tiếp cận: Sử dụng đạo hàm, xét so sánh giá trị, bảng biến thiên…
  • - Sắp xếp các bước: Tính đạo hàmf′(x)f'(x)→ giải bất phương trìnhf′(x)>0f'(x) > 0→ xác định khoảng.
  • - Dự đoán kết quả, kiểm tra đạo hàm tại các mốc quan trọng (điểm không xác định, nghiệm).

    • 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

  • - Áp dụng công thức đạo hàm phù hợp với hàm số.
  • - Giải bất phương trìnhf′(x)>0f'(x) > 0 để xác định khoảng đồng biến.
  • - Kiểm tra kết quả ở các biên và điểm đặc biệt.

    • 4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

  • - Tính đạo hàmf′(x)f'(x).
  • - Xét dấuf′(x)f'(x)trên từng khoảng: Nếuf′(x)>0f'(x) > 0thì hàm đồng biến;f′(x)<0f'(x) < 0thì hàm nghịch biến.
  • - Ưu: Dễ áp dụng, kiểm soát được quá trình tính toán. Nhược: Rườm rà với hàm phức tạp.

    • 4.2 Phương pháp nâng cao

  • - Kỹ thuật giải nhanh: Phân tích dấu nhanh dựa trên hệ số, biến đổi hàm về dạng quen thuộc.
  • - Thuộc lòng các công thức đặc biệt của đạo hàm và bảng biến thiên nhanh của các hàm số cơ bản.
  • - Áp dụng máy tính cầm tay hợp lý để kiểm tra nhanh dấu đạo hàm tại các giá trị.

    • 5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

    Đề bài: Tìm khoảng đồng biến của hàm số f(x)=2x2+3x−1f(x) = 2x^2 + 3x - 1.

  • Bước 1. Tính đạo hàm:f′(x)=4x+3f'(x) = 4x + 3.
  • Bước 2. Giải bất phương trìnhf′(x)>0f'(x) > 0:4x+3>0⇒x>−344x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{4}.
  • Bước 3. Kết luận: Hàm số đồng biến trên(−34;+∞)\left(-\frac{3}{4}; +\infty\right).

    • 5.2 Bài tập nâng cao

    Đề bài: Tìm giá trị tham số mmđể hàm sốf(x)=x2+(m−2)x+mf(x) = x^2 + (m-2)x + m đồng biến trên khoảng(1;3)(1; 3).

  • Tính đạo hàm:f′(x)=2x+(m−2)f'(x) = 2x + (m-2).
  • Hàm đồng biến trên(1;3)(1;3)khif′(x)>0f'(x) > 0với mọix∈(1;3)⇔2x+(m−2)>0x \in (1;3) \Leftrightarrow 2x + (m-2) > 0vớix∈(1;3)x \in (1;3)
  • Xét tạix=1x=1:2⋅1+m−2>0⇒m>02 \cdot 1 + m-2 > 0 \Rightarrow m > 0. Tạix=3x=3:2⋅3+m−2>0⇒m>−42 \cdot 3 + m-2 > 0 \Rightarrow m > -4.
  • Vậym>0m > 0(lấy điều kiện mạnh hơn). Hàm số đồng biến trên(1;3)(1;3)khim>0m > 0.

    • So sánh: Giải bằng lập luận giá trị biên (nâng cao) sẽ nhanh hơn việc giải bất phương trình tổng quát.

    6. Các biến thể thường gặp

  • - Dạng cho hàm số chứa căn, chứa phân thức cần xét điều kiện xác định.
  • - Dạng yêu cầu kết hợp cực trị (nơi đạo hàm bằng 0).
  • - Chiến lược: Lập bảng xét dấu đạo hàm, chú ý loại bỏ giá trị không xác định.

    • 7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • - Nhầm lẫn đạo hàm đồng biến/ nghịch biến; giải thiếu điều kiện xác định.
  • - Khắc phục: Phân tích kỹ đề, viết rõ điều kiện xác định trước khi giải.

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • - Lỗi chuyển vế, dấu, nhầm hệ số khi giải bất phương trình.
  • - Cách kiểm tra: Thay số kiểm tra lại tại một vài giá trị trong khoảng đồng biến.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập ngay 200+ bài tập cách giải Hàm đồng biến miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay để củng cố kiến thức, kiểm tra tiến độ và cải thiện kỹ năng giải toán từng ngày.

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • - Tuần 1: Ôn lý thuyết, luyện bài tập đồng biến đơn giản mỗi ngày 3 bài.
  • - Tuần 2: Thực hành biến thể, bài tập có tham số, mỗi ngày 2 bài nâng cao.
  • - Kiểm tra tiến độ: So sánh kết quả các lần làm lại, tự kiểm tra với đề thi thử.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".