1. Giới thiệu về bài toán phân tích thực tế (tình huống tối ưu) và vai trò của chúng

Bài toán phân tích thực tế (tình huống tối ưu) là các bài toán xuất hiện phổ biến trong đời sống và học tập, đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các vấn đề tối ưu hóa như tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng, tối ưu chi phí, thời gian, quãng đường,... Loại bài toán này giúp các bạn rèn luyện kỹ năng tư duy logic, tiếp cận các vấn đề thực tiễn và vận dụng toán học vào cuộc sống. Đặc biệt, năng lực giải quyết các bài toán tối ưu là nền tảng quan trọng khi học lên các bậc cao hơn và vượt qua các kỳ thi quan trọng.

2. Đặc điểm bài toán thực tế (tình huống tối ưu)

Các bài toán thực tế (tình huống tối ưu) thường có các đặc điểm sau:

• Có ngữ cảnh thực tế: bài toán thường xuất phát từ tình huống đời sống như: xây nhà, tổ chức sự kiện, sản xuất, di chuyển,...
• Yêu cầu tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, tối thiểu/tối đa một đối tượng nào đó.
• Cần chuyển đổi tình huống thực tế thành mô hình toán học (lập phương trình, công thức,...).
• Thường liên quan đến các hàm số, công thức hình học hoặc đại số lớp 10.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán tối ưu

Khi gặp bài toán tối ưu có tình huống thực tế, bạn nên làm theo chiến lược sau:

1. Đọc kỹ đề, xác định đại lượng cần tối ưu (lớn nhất, nhỏ nhất,...).
2. Phân tích, tóm tắt các dữ kiện chính từ bài toán thực tế.
3. Đặt ẩn số (có thể ký hiệu ẩn bằng$x$,$y$,... một cách hợp lý).
4. Lập công thức thể hiện đại lượng cần tối ưu (gọi là hàm mục tiêu) theo ẩn số đã đặt.
5. Dùng các điều kiện thực tế để biểu diễn tất cả các đại lượng phụ thuộc vào một biến.
6. Tìm điều kiện xác định của biến và giới hạn giá trị (nếu có).
7. Sử dụng các kỹ thuật toán học (ví dụ: biến đổi, đạo hàm cơ bản, xét giá trị đặc biệt hoặc các bất đẳng thức) để tìm giá trị tối ưu.
8. Kiểm tra nghiệm, trả lời rõ ràng theo ngữ cảnh thực tế.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa:

Một người muốn làm một hàng rào hình chữ nhật sát vào một bức tường, dài tổng cộng 20m dây (chỉ cần làm ba cạnh, một cạnh còn lại dựa vào tường). Tìm kích thước của hàng rào để diện tích bên trong lớn nhất.

1. Bước 1: Xác định đại lượng cần tối ưu: Diện tích hình chữ nhật – cần LỚN NHẤT.
2. Bước 2: Đặt ẩn số. Gọi chiều dài sát tường là $x$(m), chiều rộng là $y$(m).
3. Bước 3: Lập phương trình điều kiện: Chỉ làm 3 cạnh nên$x + 2y = 20$.
4. Bước 4: Hàm mục tiêu (diện tích):$S = x y$.
5. Bước 5: Biểu diễn hàm mục tiêu theo một biến:
   Từ $x + 2y = 20 \Rightarrow y = \frac{20 - x}{2}$
   Suy ra$S(x) = x \cdot \frac{20 - x}{2} = 10x - \frac{x^2}{2}$
   Điều kiện$0 < x < 20$.
6. Bước 6: Tìm GTLN của$S(x)$bằng các kiến thức lớp 10:
   Vì $S(x)$là hàm bậc hai (parabol) có hệ số $a = -\frac{1}{2} < 0$nên đạt cực đại tại$x_\text{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1/2)} = 10$.
7. Bước 7: Kết luận: Vậy chiều dài sát tường nên là $x = 10$m, chiều rộng là $y = \frac{20 - 10}{2} = 5$m. Diện tích lớn nhất là $S_{max} = 10 \times 5 = 50$m$^2$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Hàm bậc hai$y = ax^2 + bx + c$ đạt cực đại tại$x = -\frac{b}{2a}$(nếu$a < 0$), đạt cực tiểu tại$x = -\frac{b}{2a}$(nếu$a > 0$).
• Biến đổi các đại lượng về cùng một biến số nhờ phương trình điều kiện.
• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM (nếu phù hợp).
• Kiểm tra điều kiện xác định (không để chiều dài, chiều rộng âm hoặc vượt quá tổng vật liệu,...).

6. Các biến thể và chiến lược điều chỉnh

• Nếu liên quan đến hình học không gian: Chuyển đại lượng tối ưu (diện tích, thể tích) về hàm số một biến, sử dụng các công thức thể tích, diện tích.
• Nếu liên quan đến thời gian/quãng đường: Áp dụng các công thức vận tốc, thời gian$s = v t$, hoặc công thức chuyển động đều.
• Nếu nhiều phương trình điều kiện: Lập hệ điều kiện, biến đổi dần về một biến.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Một miếng tôn hình chữ nhật cần làm thành một cái hộp không nắp có thể tích lớn nhất bằng cách cắt 4 hình vuông cạnh$x$ ở 4 góc rồi gập các mép lên. Cho chiều dài miếng tôn là 24cm, chiều rộng là 16cm. Tìm$x$ để thể tích hộp là lớn nhất.

1. Gọi cạnh hình vuông cắt là $x$(điều kiện:$0 < x < 8$).
2. Kích thước đáy hộp: dài$(24-2x)$, rộng$(16-2x)$, cao$x$.
3. Thể tích hộp:$V(x) = (24-2x)(16-2x)x$.
4. Khai triển:$V(x) = [384 - 48x -32x + 4x^2 ]x = 384x - 80x^2 + 4x^3$.
5. Xét hàm$V(x) = 4x^3 - 80x^2 + 384x$. Tìm$x$để$V(x)$lớn nhất trên khoảng$(0;8)$.
6. Tìm nghiệm bằng phương pháp đạo hàm (hoặc lập bảng biến thiên parabol):
   Đặt $V'(x) = 12x^2 - 160x + 384 = 0$.
   Chia 2 vế cho 4: $3x^2 - 40x + 96 = 0$.
   Giải phương trình bậc hai:
   $x_{1,2} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 3 \cdot 96}}{2 \cdot 3} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1152}}{6} = \frac{40 \pm 24}{6}$
   => $x_1 = \frac{64}{6} = 10.666...$(loại vì $x<8$), $x_2 = \frac{16}{6} = 2.67$ (nhận).
7. Kiểm tra tại các điểm biên và $x = 2.67$:
   Vậy$x \approx 2.67$cm thì thể tích lớn nhất.

8. Bài tập thực hành

• Một bể cá hình hộp chữ nhật (không có nắp) có thể tích 32 lít. Đáy là hình vuông. Tìm kích thước đáy và chiều cao để chi phí xây thành ít nhất, biết rằng chi phí làm đáy gấp đôi chi phí làm thành (chiều cao).
• Tìm kích thước của một tấm thiếc hình chữ nhật diện tích 60m$^2$sao cho nếu cắt dọc theo một đường để tạo thành hình chữ nhật mới có chu vi nhỏ nhất.
• Một bạn định mua 2 loại bút: bút bi giá 5k/cây, bút gel giá 8k/cây. Bạn muốn mua ít nhất 10 cây, chi không quá 60k. Hỏi nên mua bao nhiêu mỗi loại để tổng số bút là nhiều nhất?

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của biến: chiều dài/rộng luôn phải dương, tổng vật liệu không vượt quá giới hạn,...
• Bình tĩnh đọc kỹ đề và chuyển đổi đúng ngữ cảnh về mô hình toán học.
• Chỉ xét nghiệm trong phạm vi hợp lý (không nhận nghiệm ngoài phạm vi thực tế).
• Đổi đơn vị khi cần để thống nhất trước khi lập công thức.
• Trả lại đáp án rõ ràng với đơn vị phù hợp (mét, cm, cây bút,...)

Luyện tập nhiều bài toán thực tế sẽ giúp bạn tự tin hơn khi áp dụng toán vào đời sống và đạt điểm cao trong các kỳ thi quan trọng. Chúc các bạn học tốt!