1. Giới thiệu về bài toán Phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip là một trong những chủ đề trung tâm và quan trọng của chương trình hình học lớp 10. Hiểu và giải tốt loại bài toán này giúp học sinh nâng cao kỹ năng giải toán, phân tích hình học và hỗ trợ rất nhiều cho các chương trình học cao hơn cũng như trong các kỳ thi quan trọng.

2. Đặc điểm của bài toán phương trình chính tắc của elip

Một số đặc điểm chính của loại bài toán này:

• Dạng toán nền tảng trong chương trục toạ độ và hình học phẳng.
• Thường yêu cầu xác định phương trình chính tắc của elip từ các yếu tố đặc trưng như tọa độ tâm, tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục.
• Có thể đi kèm bài toán về xác định các đại lượng như tâm, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm hoặc bài toán thiết lập phương trình tiếp tuyến, cắt elip.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán phương trình chính tắc của elip

Để "cách giải bài toán phương trình chính tắc của elip" hiệu quả, học sinh cần thực hiện các bước tổng quát sau đây:

1. Phân tích đề bài, xác định rõ các thông số: tâm, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm, đỉnh, ...
2. Liên hệ dữ kiện đề bài với dạng phương trình chính tắc của elip để xác định$a$,$b$,$c$, toạ độ tâm,...
3. Chọn hệ trục toạ độ phù hợp (thường là $Oxy$hoặc tạo mới nếu đề bài yêu cầu).
4. Thiết lập phương trình chính tắc dựa trên các thông số đã xác định.
5. Kiểm tra lại kết quả bằng cách đối chiếu với các dữ kiện của đề.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ đi qua từng bước cụ thể với một ví dụ minh họa cụ thể.

Ví dụ 1:

Cho elip$(E)$có tâm$O(0,0)$, trục lớn trùng với trục$Ox$, độ dài trục lớn là $10$, độ dài trục nhỏ là $6$. Hãy viết phương trình chính tắc của elip.

1. Bước 1: Xác định các tham số
   - Do trục lớn nằm trên$Ox$, tâm$O(0,0)$.
   - Độ dài trục lớn$2a=10 \Rightarrow a=5$.
   - Độ dài trục nhỏ $2b=6 \Rightarrow b=3$.
2. Bước 2: Áp dụng công thức phương trình chính tắc của elip:
3. $<br>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1<br>$
   Thay số:$a=5, b=3$
4. Vậy phương trình elip:
   $<br>\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1<br>$

Đây chính là phương trình chính tắc của elip cần tìm.

Ví dụ 2:

Cho elip$(E)$có tâm$I(1,2)$, trục lớn song song với$Ox$, độ dài trục lớn$8$, độ dài trục nhỏ $6$. Viết phương trình chính tắc.

1. $2a=8 \Rightarrow a=4$,$2b=6 \Rightarrow b=3$.
2. Trục lớn song song$Ox$: phương trình dạng:
   $<br>\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1<br>$
3. Thay$a=4, b=3$:
   $<br>\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1<br>$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Phương trình chính tắc của elip:
  
  Nếu trục lớn nằm trên$Ox$:
  $<br>\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1, (a > b > 0)<br>$
• Độ dài trục lớn:$2a$, độ dài trục nhỏ:$2b$.
  
• Tiêu cự: $c=\sqrt{a^2-b^2}$.
• Hai tiêu điểm:$F_1(x_0-c, y_0)$và $F_2(x_0+c, y_0)$(nếu trục lớn song song$Ox$).
• Kiểm tra trị số $a$và $b$: luôn$a > b > 0$.
• Khi trục lớn song song$Oy$, vai trò $a$và $b$ đảo cho nhau.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Elip có tâm không trùng gốc toạ độ (chọn hệ trục thích hợp và dịch chuyển tọa độ).
• Elip có trục lớn trùng trục$Oy$, khi đó $a$ ở dưới$y$:
  $<br>\frac{(x-x_0)^2}{b^2} + \frac{(y-y_0)^2}{a^2}=1 (a>b>0)<br>$
• Đề bài cho các tiêu điểm và một điểm thuộc elip: hệ phương trình để xác định$a$,$b$.
• Đề bài cho tổng khoảng cách từ một điểm tới các tiêu điểm bằng$2a$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Một elip có hai tiêu điểm$F_1(-3,0)$và $F_2(3,0)$, qua điểm$A(4,2)$. Hãy lập phương trình chính tắc của elip.

1. Bước 1: Tâm của elip là trung điểm$F_1F_2$:
   Tâm$O(0,0)$
2. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm$F_1F_2=6 \Rightarrow 2c=6 \Rightarrow c=3$.
3. Giả sử trục lớn nằm trên$Ox$, phương trình tổng quát là:
   $<br>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a> b>0)<br>$
4. Ta có $c=\sqrt{a^2-b^2}=3 \Rightarrow a^2-b^2 = 9$
   
5. Do điểm$A(4,2)$thuộc elip:
   $<br>\frac{4^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2}=1<br>$
   
6. Đặt$b^2=a^2-9$, thay vào:
   $<br>\frac{16}{a^2} + \frac{4}{a^2-9} = 1<br> \Rightarrow 16(a^2-9) + 4a^2 = a^2(a^2-9)<br> \Rightarrow 16a^2 - 144 + 4a^2 = a^4 -9a^2<br> \Rightarrow 20a^2 - 144 = a^4-9a^2<br> \Rightarrow a^4 -29a^2 + 144 = 0<br>$
7. Đặt $a^2 = t$:
   $t^2 -29t+144=0 <br> \Rightarrow t = \frac{29 \pm \sqrt{841-576}}{2} = \frac{29 \pm 15}{2}$
   
   ewline
   Vì $a^2>b^2>0$nên lấy$t_1 = \frac{29+15}{2}=22$, $t_2 = \frac{29-15}{2}=7$(nhưng$a^2>b^2>0$nên chọn$a^2=22$)
   
8. $b^2=a^2-9=13$
   
9. Vậy phương trình chính tắc:
   $<br>\frac{x^2}{22} + \frac{y^2}{13} = 1<br>$

8. Bài tập tự luyện

1. Elip có tâm là $O(0,0)$, độ dài các trục lần lượt$10$và $8$, trục lớn nằm trên$Oy$. Hãy viết phương trình chính tắc của elip.

2. Một elip có hai tiêu điểm$F_1(0,-4)$và $F_2(0,4)$, đi qua điểm$A(3,0)$. Viết phương trình chính tắc của elip.

3. Elip có tâm$I(-1,2)$, trục lớn song song$Oy$, trục lớn$2a=12$, trục nhỏ $2b=8$. Viết phương trình chính tắc của elip.

4. Một elip có độ dài trục lớn$2a=14$, trục nhỏ $2b=10$, tâm$O(0,0)$. Gọi$F_1$,$F_2$là hai tiêu điểm. Tính tọa độ $F_1$,$F_2$.

9. Mẹo và Lưu ý Tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra điều kiện$a > b > 0$.
• Xác định chính xác tâm và hướng của trục lớn/trục nhỏ trước khi thiết lập phương trình.
• Cẩn thận khi thay số vào công thức tiêu cự: $c=\sqrt{a^2-b^2}$.
• Với elip có phương trình không ở dạng chính tắc, nên biến đổi về dạng chính tắc trước.
• Khi đề bài cho các yếu tố như tiêu điểm, điểm thuộc elip, hãy viết tất cả các điều kiện ra hệ phương trình để giải.
• Luôn kiểm tra lại đáp án cuối cùng bằng cách thay dữ kiện đề.