Blog

Lớp 10

Chiến Lược Giải Bài Toán Phương Trình Đường Tròn Khi Biết Tâm Và Bán Kính: Hướng Dẫn Chi Tiết Cho Lớp 10

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính

Bài toán "phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính" xuất hiện rất nhiều trong chương trình Toán lớp 10. Đây là dạng bài tập nền tảng của hình học giải tích, giúp học sinh tạo nền móng vững chắc để chinh phục các bài toán phức tạp về tọa độ phẳng. Thông qua việc nắm vững và thành thạo dạng bài này, học sinh không chỉ phát triển tư duy hình học mà còn vận dụng linh hoạt kiến thức toán học trong đời sống và khoa học.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

  • Bài toán cho biết: Tâm đường trònI(a;b)I(a; b)và bán kínhRR.
  • Yêu cầu: Viết phương trình đường tròn hoặc tìm các yếu tố liên quan (tâm, bán kính, điểm nằm trên đường tròn,...)
  • Phương trình đường tròn chuẩn tắc cần sử dụng:(x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

    • Tất cả dữ kiện đã có giúp học sinh dễ dàng lắp vào công thức. Tuy nhiên, cần cẩn thận về dấu và chính xác trong từng phép biến đổi đại số.

    3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Bước 1: Xác định toạ độ tâmI(a;b)I(a; b)và bán kínhRR.
  • Bước 2: Xác định công thức tổng quát của phương trình đường tròn.
  • Bước 3: Thay số cụ thể vào công thức(x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2
  • Bước 4: Biến đổi và khai triển phương trình nếu đề yêu cầu dưới dạng khác (khai triển hoặc thu gọn).

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn tâmI(2;−1)I(2; -1), bán kínhR=3R = 3.

  • Bước 1: Xác địnha=2;b=−1;R=3a = 2; b = -1; R = 3.
  • Bước 2: Công thức tổng quát:(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
  • Bước 3: Thay số:(x−2)2+(y+1)2=9(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9
  • Bước 4: Khai triển nếu cần:

    • (x−2)2+(y+1)2=9(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9

    x2−4x+4+y2+2y+1=9x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 9

    x2+y2−4x+2y+5=9x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 = 9

    x2+y2−4x+2y−4=0x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Phương trình đường tròn tâmI(a;b)I(a; b), bán kínhRR:(x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2
  • Khi đề yêu cầu khai triển:(x−a)2+(y−b)2=R2⇒x2+y2−2ax−2by+(a2+b2−R2)=0(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - R^2) = 0
  • Khoảng cách từ điểm M(x0;y0)M(x_0; y_0) đến tâmI(a;b)I(a; b): d=(x0−a)2+(y0−b)2d = \sqrt{(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2}

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

    • Đề cho tâm, cho điểm nằm trên đường tròn → Sử dụng công thức khoảng cách thay cho bán kính.

    Ví dụ: TâmI(1;3)I(1;3), điểmM(4;7)M(4;7)nằm trên đường tròn. Khi đó R=d(IM)R = d(IM).

    R=(4−1)2+(7−3)2=9+16=5R = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

    Phương trình:(x−1)2+(y−3)2=25(x-1)^2 + (y-3)^2 = 25

    • Đề cho đường tròn tiếp xúc với trục Ox, Oy,... thì khoảng cách từ tâm tới trục chính là bán kính (lưu ý dấu).

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

    Bài tập: Viết phương trình đường tròn tâmI(−3;5)I(-3;5), tiếp xúc với trục hoành Ox.

    Giải chi tiết:

  • Bước 1: Vì tiếp xúc Ox, nên bán kínhR=∣b∣=∣5∣=5R = |b| = |5| = 5.
  • Bước 2: Phương trình có dạng:(x+3)2+(y−5)2=25(x+3)^2 + (y-5)^2 = 25
  • Bước 3: Khai triển nếu đề yêu cầu:

    • x2+6x+9+y2−10y+25=25x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = 25

    x2+y2+6x−10y+9=0x^2 + y^2 + 6x - 10y + 9 = 0

    8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

  • a) Viết phương trình đường tròn tâmI(0;0)I(0; 0), bán kính55.
  • b) TâmI(2;−4)I(2; -4), đi qua điểmA(5;0)A(5; 0). Hãy viết phương trình đường tròn.
  • c) Viết phương trình đường tròn tâmI(−1;2)I(-1; 2), bán kính44dưới dạng đã khai triển.

    • 9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Nhớ dấu "-" trong công thức tổng quát(x−a)(x-a),(y−b)(y-b). Nhiều bạn thường ghi nhầm dấu khi tâm có toạ độ âm.
  • Đảm bảo bán kính dương và R2>0R^2 > 0trong phương trình.
  • Khi khai triển phương trình, sắp xếp các hạng tử tương tự nhau, tránh bỏ sót hoặc nhầm dấu.
  • Luôn kiểm tra lại bài làm bằng cách thay toạ độ tâm vào kiểm tra xác nhận là nghiệm của phương trình vừa lập.

    • Hy vọng bài hướng dẫn này giúp các bạn nắm vững "cách giải bài toán phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính" cũng như tự tin giải quyết nhiều dạng biến thể của loại bài này!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".