Chiến lược giải quyết bài toán Phương trình tích quy về phương trình bậc hai lớp 10

1. Giới thiệu về bài toán phương trình tích quy về phương trình bậc hai

Phương trình tích quy về phương trình bậc hai là một trong những kiểu bài cơ bản, quan trọng của chương trình Đại số 10. Loại phương trình này thường xuất hiện dưới dạng sản phẩm các biểu thức bằng 0 hoặc biến đổi về dạng phương trình bậc hai, là bước khởi đầu cho việc làm quen và vận dụng linh hoạt các phương pháp giải phương trình phức tạp hơn trong chương trình THPT.

2. Đặc điểm của phương trình tích quy về phương trình bậc hai

Phương trình tích là phương trình có dạng tổng quát:

$A(x)$imes$B(x) = 0$

trong đó $A(x)$,$B(x)$là các biểu thức theo$x$. Khi một tích bằng 0, ít nhất một trong các thừa số phải bằng 0, tức là $A(x) = 0$hoặc$B(x) = 0$.

Sau khi phân tích thành các phương trình (thường sẽ có ít nhất một phương trình bậc hai), ta sẽ giải từng phương trình con, tổng hợp nghiệm thỏa mãn điều kiện của bài toán.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

- Nhận diện phương trình có dạng tích (hoặc có thể đưa về dạng tích).
- Phân tích đặc điểm từng thừa số.
- Áp dụng định lý: Tích bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một thừa số bằng 0.
- Giải từng phương trình thừa số.
- Kiểm tra điều kiện xác định (nếu có chứa căn thức hoặc mẫu số).
- Tổng hợp nghiệm thỏa mãn điều kiện.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình:

$(x^2-4)$(x-3)$=0

Bước 1: Xét các thừa số bằng 0.

-$x^2-4=0$hoặc$x-3=0$

Bước 2: Giải từng phương trình thừa số.

-$x^2-4=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2$hoặc$x=-2$-$x-3=0 \Rightarrow x=3$

Bước 3: Kết luận nghiệm. Nghiệm phương trình là $x=2$,$x=-2$,$x=3$.

Ví dụ 2: Giải phương trình
$(x - 1)(x^2 + 2x + 1) = 0$
Bước 1:$x-1=0$hoặc$x^2+2x+1=0$
Bước 2:
-$x-1=0 \Rightarrow x=1$
-$x^2+2x+1=0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x=-1$
Vậy nghiệm là $x=1$và $x=-1$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Định lý tích bằng 0 (zero product property): Nếu$A(x) \times B(x) = 0$thì $A(x) = 0$hoặc$B(x) = 0$.

  Công thức nghiệm phương trình bậc hai: $ax^2 + bx + c = 0$ ($a e0$)
  $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

  Công thức hằng đẳng thức đáng nhớ:$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$,$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$,$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

• Phương trình tích với điều kiện xác định (chứa căn hoặc mẫu): Nghiệm phải thỏa mãn điều kiện của căn thức/mẫu số.

  Phương trình ẩn phức tạp hơn có thể quy về tích bằng cách phân tích đa thức.

  Phương trình tích chứa phương trình bậc hai với hệ số tham số: Nghiệm phụ thuộc tham số, cần xét riêng từng trường hợp.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Giải phương trình$(x^2-5x+6)(x^2-1)=0$

Bước 1: Đặt mỗi thừa số bằng 0:
1)$x^2-5x+6=0$
2)$x^2-1=0$

Bước 2: Giải từng phương trình:
- 1)$x^2-5x+6 = 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0 \Rightarrow x=2$hoặc$x=3$
- 2)$x^2-1=0 \Leftrightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=1$hoặc$x=-1$

Bước 3: Nghiệm tổng hợp:$x=2$,$x=3$,$x=1$,$x=-1$.

8. Bài tập thực hành

• 1. Giải các phương trình sau:

  a)$(x^2 + 3x + 2)(x - 2) = 0$

  b)$(x - 5)(x^2 + x - 6) = 0$

  c)$(x^2 - 9)(2x + 1) = 0$

  d)$(x^2 - 4x + 4)(x + 2) = 0$

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định (nếu bài có chứa căn/mẫu số).

  Không quên tách hết các thừa số (phân tích đa thức đến cùng nếu có thể).

  Phải giải TẤT CẢ các thừa số (không được bỏ sót nghiệm).

  Với mỗi nghiệm, đối chiếu với điều kiện xác định của bài toán, chỉ nhận các giá trị phù hợp.

  Thường kiểm tra nháp các phép biến đổi hằng đẳng thức để phân tích đa thức chuẩn xác.