1. Giới thiệu về bài toán phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng

Bài toán về phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng là một trong những chuyên đề quan trọng nhất trong chương trình Toán lớp 10. Việc hiểu, chuyển đổi linh hoạt giữa hai dạng phương trình giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho các bài tập hình học giải tích trên mặt phẳng và cao hơn nữa. Dạng bài này xuất hiện phổ biến trong kiểm tra, thi cử và ứng dụng rộng rãi trong giải toán Hình học nói chung.

2. Đặc điểm của bài toán

• Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:$Ax + By + C = 0$(trong đó $A$,$B$không đồng thời bằng 0).
• Phương trình tham số của đường thẳng:
  $$\begin{cases} x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\\end{cases}$$
  với$t \in \mathbb{R}$,$(x_0, y_0)$là một điểm thuộc đường thẳng,$\vec{u} = (a, b)$là véc-tơ chỉ phương.
• Yêu cầu điển hình: Chuyển qua lại giữa hai dạng phương trình; tìm phương trình đường thẳng biết điều kiện (qua điểm, song song/cắt, vuông góc, ...); giải quyết bài toán giao điểm, vị trí tương đối,...

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán phương trình tổng quát và tham số

• Bước 1: Xác định dạng bài và các dữ kiện đề bài (dạng tổng quát, tham số, điều kiện về điểm, véc-tơ, song song, vuông góc, ...)
• Bước 2: Áp dụng công thức, chuyển đổi dạng phương trình nếu cần.
• Bước 3: Thay số, tính toán cụ thể, chú ý xác định đúng véc-tơ chỉ phương hoặc véc-tơ pháp tuyến.
• Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện (nếu yêu cầu bài toán là tìm điểm, kiểm tra điểm có thuộc đường thẳng không, ...)
• Bước 5: Trình bày rõ ràng, logic, tốt nhất chia thành các ý nhỏ rõ rệt.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm$A(2, -1)$và có véc-tơ chỉ phương$\vec{u} = (3, 4)$.

• Ta có:$(x_0, y_0) = (2, -1)$,$\vec{u} = (3, 4)$.
• Phương trình tham số:
• $$\begin{cases} x = 2 + 3t \\y = -1 + 4t \\\end{cases},\t \in \mathbb{R}$$

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua$B(-1,2)$và vuông góc với$d: 2x-5y+1=0$.

• Đường thẳng$d$có véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}_d = (2, -5)$. Đường thẳng cần tìm vuông góc$d$, nên véc-tơ chỉ phương chính là véc-tơ pháp tuyến$\vec{u} = (2, -5)$.
• Do đó véc-tơ pháp tuyến$\vec{n}$của đường thẳng cần tìm là $\vec{n} = (5, 2)$. (vì $\vec{u} \perp \vec{n}$nên đổi thứ tự và đảo dấu 1 thành phần).
• Phương trình tổng quát:$5(x + 1) + 2(y - 2) = 0 \Rightarrow 5x + 5 + 2y - 4 = 0 \Rightarrow 5x + 2y + 1 = 0$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• - Phương trình tổng quát:$Ax + By + C = 0$($A$,$B$không đồng thời bằng 0).
• - Phương trình tham số:
  $$\begin{cases} x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\\end{cases}$$
  .
• - Véc-tơ pháp tuyến:$\vec{n} = (A, B)$.
• - Véc-tơ chỉ phương:$\vec{u} = (b, -a)$,$\vec{u} \perp \vec{n}$.
• - Đổi từ tham số sang tổng quát:
• + Dựa vào véc-tơ chỉ phương$\vec{u} = (a, b)$, véc-tơ pháp tuyến là $(b, -a)$.
• + Điểm đi qua$(x_0, y_0)$, thế vào:$b(x - x_0) - a(y - y_0) = 0 \Rightarrow bx - ay + ( -bx_0 + ay_0 ) = 0$.
• - Đổi từ tổng quát sang tham số: Lấy một điểm thuộc đường thẳng, tìm véc-tơ chỉ phương$\vec{u} = ( -B, A )$.

6. Các dạng biến thể và điều chỉnh chiến lược

• - Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước: Xác định véc-tơ chỉ phương là hiệu toạ độ hai điểm$(x_2-x_1, y_2-y_1)$.
• - Viết phương trình đường thẳng song song/ vuông góc đường thẳng cho trước: Sử dụng mối liên hệ véc-tơ pháp tuyến hoặc chỉ phương giữa các đường thẳng.
• - Tìm giao điểm của hai đường thẳng: Giải hệ phương trình.
• - Kiểm tra vị trí tương đối: So sánh định thức và tách hệ số.

7. Bài tập mẫu kèm hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập: Cho đường thẳng$d: 3x - 4y + 5 = 0$. Hãy viết phương trình tham số của$d$.

• Bước 1: Chọn điểm thuộc đường thẳng, cho$x = 0$suy ra$-4y + 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{4}$. Vậy$M(0, \frac{5}{4})$thuộc$d$.
• Bước 2: Tìm véc-tơ chỉ phương$\vec{u} = (4, 3)$. (vì $\vec{n} = (3, -4)$nên chỉ phương là $(4, 3)$).
• Bước 3: Viết phương trình tham số:
• $$\begin{cases} x = 0 + 4t \\y = \frac{5}{4} + 3t \\\end{cases}, t \in \mathbb{R}$$

8. Bài tập tự luyện

• 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua$A(1, 2)$và có véc-tơ chỉ phương$\vec{u} = (2, -3)$.
• 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm$B(-2, 3)$và $C(1, -1)$.
• 3. Một đường thẳng đi qua$D(0,1)$và song song với đường thẳng$y = -2x + 4$. Hãy viết phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng này.
• 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng$d: x - y + 2 = 0$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm

• - Kiểm tra các hệ số trong phương trình tổng quát$Ax + By + C = 0$ để chắc chắn$A$,$B$không cùng bằng 0.
• - Khi chuyển đổi giữa hai dạng phương trình, xác định đúng véc-tơ chỉ phương và pháp tuyến, không nhầm dấu.
• - Khi tìm điểm thuộc đường thẳng, nên chọn giá trị $x$hoặc$y$ đơn giản để thuận tiện.
• - Kiểm tra đáp án cuối cùng đúng điều kiện đề bài (điểm đi qua, hướng, song song/vuông góc,...).

Trên đây là tổng hợp chiến lược, công thức, ví dụ minh họa và bài luyện tập về cách giải bài toán phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng cho học sinh lớp 10. Khi làm bài, hãy trình bày rõ ràng từng bước và luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng chuyển đổi giữa các dạng phương trình.