Chiến lược giải bài toán 'Bài 3: Tích của một số với một vectơ' lớp 10

1. Giới thiệu về dạng bài toán

“Bài 3: Tích của một số với một vectơ” là dạng bài cơ bản trong chương V: VECTƠ, chương trình Toán lớp 10. Dạng bài này thường xuyên xuất hiện trong cả đề kiểm tra và đề thi học kỳ, đồng thời là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về vectơ. Học sinh có thể dễ dàng luyện tập cách giải với hơn 42.226+ bài tập miễn phí, giúp củng cố và phát triển kỹ năng giải toán nhanh chóng.

• Dạng bài trọng tâm, giúp hiểu rõ về phép nhân giữa số và vectơ.
• Có mặt trong hầu hết các đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi giữa/học kỳ.
• Nắm vững cách giải mở rộng cơ hội mạnh mẽ ở các dạng bài vectơ nâng cao.
• Có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập sát chương trình.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Các đề bài có từ khóa: 'tích của một số với một vectơ', 'nhân vectơ với số', 'tính k.vectơ', 'phóng đại hoặc thu nhỏ vectơ', v.v.
• Biểu thức dạng$k\vec{a}$,$-2\vec{b}$,$\frac{1}{3}\vec{u}$,...
• Khác với 'cộng/ trừ hai vectơ' vì ở đây chỉ có 1 vectơ và 1 số.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Công thức: Nếu$\vec{a} = (x; y)$thì $k\vec{a} = (kx; ky)$.
- Định lý: Tích của một số với một vectơ sẽ tạo ra một vectơ cùng hoặc ngược hướng (tùy dấu của$k$), độ dài bị nhân (hoặc chia) theo$|k|$.
- Kỹ năng: Tính toán nhanh giá trị $k \cdot x$,$k \cdot y$; nắm chắc về biểu diễn tọa độ vectơ.
- Kiến thức liên quan: Tổng, hiệu vectơ; phân tích tọa độ

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Xác định rõ yêu cầu bài toán: Tích bao nhiêu với vectơ nào, dạng đề bài hỏi gì.
- Xem dạng đề bài cho tọa độ hay biểu diễn hình học, nhận diện dữ liệu đề bài.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn phương pháp phù hợp: Nếu có tọa độ dùng công thức trực tiếp; nếu biểu diễn hình học thì xác định tỷ lệ, hướng.
- Sắp xếp thứ tự tính toán: (1) Tìm tọa độ nếu cần. (2) Nhân từng thành phần với k. (3) Kiểm tra tính hợp lý.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng đúng công thức:$k\vec{a} = (kx; ky)$.
- Tính toán cẩn thận từng bước, chú ý dấu của$k$và tọa độ.
- Kiểm tra: Hướng, độ dài phù hợp với kết quả mong muốn.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

• Bước 1: Xác định tọa độ vectơ hoặc biểu diễn hình học.
• Bước 2: Áp dụng công thức$k\vec{a} = (kx; ky)$.
• Ưu điểm: Chính xác, dễ hiểu. Hạn chế khi bài toán phức tạp về tham số.

4.2 Phương pháp nâng cao

• Đối với các biểu thức có cả số và tọa độ ẩn: Sử dụng biến để biểu diễn kết quả tổng quát.
• Sử dụng mẹo kiểm tra hướng: Nếu$k > 0$, cùng hướng;$k < 0$, ngược hướng.
• Nhận diện tính chất đặc biệt: Khi$k = 0$, tích luôn là vectơ-không.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho$\vec{a} = (3; -2)$, tính$-2\vec{a}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

$-2\vec{a} = (-2) \cdot (3; -2) = (-6; 4)$

Vì $-2 < 0$nên$-2\vec{a}$ngược hướng$\vec{a}$, độ dài gấp 2 lần.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Cho$\vec{b} = (x; 2x - 1)$,$k = \frac{1}{2}$. Tìm$k \vec{b}$khi$x = -4$.

Cách 1 (Thay số rồi nhân):

$\vec{b} = (-4; -9)$

$k\vec{b} = \frac{1}{2} \cdot (-4; -9) = (-2; -\frac{9}{2})$

Cách 2 (Nhân biểu thức tổng quát):

$k\vec{b} = \frac{1}{2}(x; 2x - 1) = (\frac{x}{2}; x - \frac{1}{2})$

Với$x = -4$, ta có $k\vec{b} = (-2; -4.5)$giống cách 1.

So sánh: Cách 2 phù hợp khi cần kết quả tổng quát. Cách 1 nhanh khi$x$ đã biết.

6. Các biến thể thường gặp

• Tích của số âm với vectơ (hướng ngược lại, độ dài thay đổi).
• Tích với 0 (vectơ-không).
• Tích kèm tổng hiệu vectơ dạng$k(\vec{a} + \vec{b})$(phân phối hằng số với vectơ).

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Nhầm lẫn giữa phép nhân số với vectơ và cộng/trừ hai vectơ.
• Không chú ý dấu của$k$dẫn đến xác định sai hướng.
• Quên áp dụng phân phối khi$k(\vec{a}+\vec{b})$.

7.2 Lỗi về tính toán

• Sai số trong nhân hoặc chia thành phần.
• Làm tròn số sớm hoặc không cẩn thận với phân số.
• Không kiểm tra lại kết quả (có xảy ra ngược hướng hay không).

8. Luyện tập miễn phí ngay

Học sinh có thể truy cập ngay kho 42.226+ bài tập cách giải Bài 3: Tích của một số với một vectơ miễn phí – không cần đăng ký, luyện tập trực tiếp và theo dõi tiến độ để cải thiện kỹ năng theo từng ngày.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1: Làm 10-15 bài cơ bản, nắm chắc phép nhân số với vectơ.
- Tuần 2: Luyện tập các bài nâng cao, tổng hợp, sáng tạo tình huống.
- Đặt mục tiêu: Đạt tốc độ tối thiểu 1 phút/bài cơ bản, 3 phút/bài nâng cao.
- Đánh giá: Kiểm tra bản thân định kỳ bằng các bài tổng hợp hoặc đề thi mẫu trên hệ thống.