Blog

Lớp 10

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán: Tổng và Hiệu của Hai Vectơ Lớp 10

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán Tổng và hiệu của hai vectơ

Ở chương V: VECTƠ – Toán 10, bài toán về tổng và hiệu hai vectơ là nền tảng để nghiên cứu hình học và các ứng dụng Vật lý. Những phép toán này giúp các em hiểu sâu về tọa độ, phép biến đổi hình học, xác định phương, chiều, độ lớn của các đại lượng có hướng.

Nắm được cách giải bài toán tổng và hiệu của hai vectơ là điều kiện cần để học tốt hình học, đại số và vật lý sau này.

2. Phân tích đặc điểm bài toán Tổng và Hiệu của hai vectơ

  • Bài toán đa phần yêu cầu xác định tổng (𝑎⃗ + 𝑏⃗ ) hoặc hiệu (𝑎⃗ − 𝑏⃗ ) của hai vectơ cho trước;
  • Có thể cho vectơ dạng tọa độ, dạng hình học (vẽ hình, tính độ dài, xác định phương, chiều);
  • Một số bài toán phức tạp hơn: yêu cầu tìm tọa độ điểm, biểu diễn vectơ mới thông qua các vectơ đã biết.

    • 3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán tổng và hiệu của hai vectơ

  • Hiểu rõ khái niệm vectơ, các phép toán cộng và trừ vectơ;
  • Đọc kỹ đề bài: xác định dạng cho vectơ (tọa độ, hình vẽ, biểu diễn bằng điểm);
  • Xác định phương pháp giải phù hợp cho dạng bài đó (hình học, đại số);
  • Giải bài bằng công thức/toán hình học;
  • Kiểm tra lại kết quả (đặc biệt dấu vectơ, dấu của hiệu).

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Giả sử trong mặt phẳng Oxy, a⃗\vec{a}có tọa độ (x1,y1)(x_1, y_1),b⃗\vec{b}có tọa độ (x2,y2)(x_2, y_2). Tìm tổng và hiệu hai vectơ.

  • Bước 1: Xác định vectơ cho trước – ở đây, đã có tọa độ (x1,y1)(x_1, y_1),(x2,y2)(x_2, y_2).
  • Bước 2: Áp dụng công thức:

    • Tổng:
    <br/>a⃗+b⃗=(x1+x2,\y1+y2)<br/><br />\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2,\y_1 + y_2)<br />
    Hiệu:
    <br/>a⃗−b⃗=(x1−x2,\y1−y2)<br/><br />\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2,\y_1 - y_2)<br />

    • Bước 3: Thay số tính toán, vẽ hình minh họa nếu cần.

    Ví dụ 1: Choa⃗=(2,1)\vec{a} = (2, 1),b⃗=(−3,4)\vec{b} = (-3, 4). Tính:a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}và a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}.

    →
    <br/>a⃗+b⃗=(2+(−3),1+4)=(−1,5)<br/><br />\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-3), 1 + 4) = (-1, 5)<br />
    <br/>a⃗−b⃗=(2−(−3),1−4)=(5,−3)<br/><br />\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-3), 1 - 4) = (5, -3)<br />

    → Giải thích: Cộng (trừ) từng hoành độ, tung độ của hai vectơ theo công thức. Hình học: Có thể vẽ hai vectơ trên Oxy, kiểm tra hướng, độ dài của tổng, hiệu.

    Ví dụ 2: Biểu diễn tổng hai vectơ bằng quy tắc hình học.

    - Đặt gốc vectơ <br/>b⃗<br/><br />\vec{b}<br />tại tận cùng vectơ a⃗\vec{a}, tổnga⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}là vectơ nối từ gốca⃗\vec{a} đến đỉnh tận cùng củab⃗\vec{b}.

    - Với hiệu: Xác địnha⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}=a⃗\vec{a}+(−b⃗)(-\vec{b})

    Hình học: Vẽ a⃗\vec{a}, vẽ đối vectơ −b⃗-\vec{b}, tổng lại chính là a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • a⃗+b⃗=(x1+x2,y1+y2)\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
  • a⃗−b⃗=(x1−x2,y1−y2)\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)
  • Độ dài vectơ:
    ∣a⃗∣=x2+y2|
    \vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
  • Tổng/hiệu hai vectơ bằng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc hình tam giác.

    • 6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

    - Nếu vectơ cho dưới dạng điểm:<br/>AB⃗=(xB−xA,yB−yA)<br/><br />\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)<br />rồi mới cộng/trừ.

    - Nếu cần tìm toạ độ điểm dựa vào tổng/hiệu hai vectơ: Dùng công thức cộng/trừ hướng từ vectơ về điểm.

  • Ví dụ: GọiMMlà điểm sao choAM⃗=a⃗+b⃗\vec{AM} = \vec{a} + \vec{b}thì MMcó tọa độ:M(xA+x1+x2,yA+y1+y2)M(x_A + x_1 + x_2, y_A + y_1 + y_2).
  • Nếu đề bài yêu cầu dựng hình: Áp dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc hình tam giác.

    • 7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài tập mẫu 1: Trong mặt phẳng Oxy,A(1,−2)A(1, -2),B(4,3)B(4, 3),C(−2,2)C(-2, 2). TínhAB⃗+AC⃗\vec{AB} + \vec{AC}.

    - Tính các vectơ:
    AB⃗=(xB−xA,yB−yA)=(4−1,3−(−2))=(3,5)\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (4 - 1, 3 - (-2)) = (3, 5)

    AC⃗=(−2−1,2−(−2))=(−3,4)\vec{AC} = (-2 - 1, 2 - (-2)) = (-3, 4)

    - Cộng hai vectơ:
    AB⃗+AC⃗=(3+(−3),5+4)=(0,9)\vec{AB} + \vec{AC} = (3 + (-3), 5 + 4) = (0, 9)

    Bài tập mẫu 2: Chou⃗=(1,2)\vec{u} = (1, 2),v⃗=(5,−3)\vec{v} = (5, -3). Tínhu⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}và độ dài của kết quả.

    - u⃗−v⃗=(1−5,2−(−3))=(−4,5)\vec{u} - \vec{v} = (1 - 5, 2 - (-3)) = (-4, 5)
    - Độ dài: ∣u⃗−v⃗∣=(−4)2+52=16+25=41|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}

    8. Bài tập thực hành (Tự luyện)

  • Bài 1: ChoP(0,2)P(0, 2),Q(3,5)Q(3, 5),R(−1,1)R(-1, 1). Tính vectơ PQ⃗+PR⃗\vec{PQ} + \vec{PR}.
  • Bài 2:a⃗=(7,−2)\vec{a}=(7,-2),b⃗=(−4,6)\vec{b}=(-4,6). Tínha⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}và độ dài kết quả.
  • Bài 3: ChoA(2,3)A(2,3),B(5,7)B(5,7). Một điểmMMsao choAM⃗=AB⃗+a⃗\vec{AM}=\vec{AB} + \vec{a}vớia⃗=(1,−1)\vec{a}=(1,-1). Tìm tọa độ MM.
  • Bài 4: Chox⃗=(1,4)\vec{x}=(1,4)và y⃗=(−2,1)\vec{y}=(-2,1). Tìmx⃗+y⃗\vec{x} + \vec{y}và biểu diễn phép cộng này trên hình học Oxy.

    • 9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • LUÔN kiểm tra lại dấu trừ trong hiệu vectơ;
  • Nhớ rằng phép cộng/trừ vectơ là phép cộng/trừ từng thành phần tọa độ.
  • Chú ý đọc kỹ đề: vectơ dạng tọa độ hay vectơ dạng điểm để áp dụng công thức phù hợp.
  • Khi vẽ hình: hãy vẽ thật chính xác hướng và độ dài vectơ, kiểm tra tổng bằng quy tắc hình học nếu cần.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".