Blog

Chiến lược giải bài toán Vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học dành cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Dạng toán “Vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học” là một trong những chủ đề quen thuộc của chương trình Hình học lớp 10. Bài toán yêu cầu học sinh xác định và vẽ đường hyperbol dựa trên định nghĩa hình học cơ bản về khoảng cách đến hai tiêu điểm. Dạng bài này thường xuất hiện trong các đề kiểm tra chương, đề cuối kỳ hoặc bài thi học sinh giỏi cấp trường. Nắm chắc phương pháp giải không chỉ giúp bạn đạt điểm tối đa mà còn tạo nền tảng tốt cho các bài toán liên quan đến đường conic trong chương trình sau này. Đặc biệt, bạn có cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập đa dạng và cập nhật mới nhất tại cuối bài viết.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Đề bài thường xuất hiện các cụm từ: “hãy vẽ”, “theo định nghĩa hình học”, “hai điểm cố định”, “khoảng cách từ một điểm đến hai điểm cố định”, “hyperbol”.Từ khóa cần chú ý: tiêu điểm, khoảng cách, hiệu số khoảng cách, vị trí hình học.Khác biệt với dạng bài vẽ elip (nơi tổng các khoảng cách là không đổi), hyperbol liên quan đến HIỆU các khoảng cách.

2.2 Kiến thức cần thiết

Định nghĩa hyperbol: Quỹ tích các điểmMMsao choMF1MF2=2a|MF_1 - MF_2| = 2a(a>0a > 0), vớiF1,F2F_1, F_2là hai tiêu điểm.Công thức tọa độ:x2a2y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, vớia,ba, blà các tham số xác định.Kỹ năng tính toán căn bản (tính khoảng cách giữa hai điểm, giải phương trình bậc hai).Hiểu và vận dụng lý thuyết về quỹ tích, đối xứng trục, xác định trục hyperbol.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

Đọc kỹ yêu cầu đề (xác định vẽ theo định nghĩa hình học hay dạng tọa độ).Xác định dữ liệu: vị trí hai tiêu điểm (F1,F2F_1, F_2), khoảng cách không đổi2a2a, các điều kiện cho trước.Tìm hiểu kỹ điều đề hỏi (vẽ hình, liệt kê dữ liệu, yêu cầu biểu diễn hình học).

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

Chọn phương pháp: vẽ bằng định nghĩa hay chuyển về tọa độ để tính toán.Sắp xếp thứ tự: xác định tiêu điểm → xác định khoảng cách → tìm vài điểm đặc biệt → phác thảo đồ thị.Có thể dự đoán hình dạng đường (hai nhánh đối xứng qua trục).

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

Áp dụng công thức: chọn điểm mẫu, tínhMF1MF2|MF_1 - MF_2|.Định vị hai tiêu điểm, lấy mẫu các điểm thỏa mãn điều kiện và nối hình.Kiểm tra đối xứng và hợp lý các điểm đã xác định.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Phương pháp này sử dụng hoàn toàn định nghĩa hình học của hyperbol. Đầu tiên xác định hai tiêu điểm, sau đó chọn các điểmMMthoả mãn điều kiệnMF1MF2=2a|MF_1 - MF_2| = 2a. Thông qua việc lấy nhiều điểm và nối lại, ta sẽ có được đồ thị cơ bản của hyperbol.

Ưu điểm: Đơn giản, có thể thực hiện thủ công trên giấy; nhược điểm: tốn thời gian, có thể thiếu chính xác khi lấy ít điểm.

Sử dụng khi đề bài cho trực tiếp vị trí tiêu điểm và khoảng cách.

4.2 Phương pháp nâng cao

Áp dụng phương pháp tọa độ: chuyển các dữ kiện về hệ trụcOxyOxy, tìm phương trình hyperbol và vẽ bằng phần mềm (như GeoGebra).

Kỹ thuật giải nhanh dựa trên việc sử dụng công thức tọa độ và xác định các điểm đặc biệt (đỉnh, giao điểm trục, vẽ nhánh...). Lưu ý mẹo nhớ:c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^22c2clà khoảng cách giữa hai tiêu điểm.

Tối ưu bài toán đối với các bài yêu cầu cao, thao tác chính xác khi số liệu phức tạp.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho hai điểmF1(3,0)F_1(-3, 0)F2(3,0)F_2(3, 0). Hãy vẽ quỹ tích các điểmMMsao choMF1MF2=4|MF_1 - MF_2| = 4theo định nghĩa hình học.Lời giải:Bước 1: Xác định hai tiêu điểmF1F_1F2F_2trên mặt phẳng tọa độ.Bước 2: GọiM(x,y)M(x, y). Theo định nghĩa:MF1MF2=4|MF_1 - MF_2| = 4.Bước 3: Tính MF1=(x+3)2+y2MF_1 = \sqrt{(x + 3)^2 + y^2}, MF2=(x3)2+y2MF_2 = \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}. Áp dụng định nghĩa hình học, ta có:
(x+3)2+y2(x3)2+y2=4\left|\sqrt{(x + 3)^2 + y^2} - \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}\right| = 4Bước 4: Biến đổi và bình phương hai vế để đưa về phương trình tọa độ (có thể sử dụng phần mềm hoặc tiếp tục bằng tay).

Kết quả nhận được sẽ là phương trình dạngx24y25=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1. Vẽ đường này trên hệ trục là hoàn tất.Giải thích: Mỗi bước chuyển đổi đều dựa trên định nghĩa hình học, chú ý kiểm tra các điều kiện tồn tại.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Trong mặt phẳngOxyOxy, cho hai điểmF1(0,0)F_1(0, 0),F2(6,0)F_2(6, 0), tìm quỹ tích các điểmMMsao choMF1MF2=4|MF_1 - MF_2| = 4. Viết phương trình hyperbol và so sánh với kết quả vẽ hình học.Phân tích: Khoảng cách giữa hai tiêu điểm là 66, khoảng cách không đổi là 4<64 < 6, do đó hyperbol tồn tại.Gọi M(x,y)M(x, y), MF1=x2+y2MF_1 = \sqrt{x^2 + y^2}, MF2=(x6)2+y2MF_2 = \sqrt{(x - 6)^2 + y^2}.

Theo định nghĩa:
x2+y2(x6)2+y2=4|\sqrt{x^2 + y^2} - \sqrt{(x - 6)^2 + y^2}| = 4

Xét trường hợp dương, ta có: x2+y2(x6)2+y2=4\sqrt{x^2 + y^2} - \sqrt{(x - 6)^2 + y^2} = 4.

Bình phương và rút gọn, thu được phương trình hyperbol dạng chuẩn:(x3)24y25=1\frac{(x - 3)^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1Các cách vẽ: Dùng phần mềm GeoGebra vẽ đồ thị chuẩn kiểm tra kết quả thu được đúng hai nhánh đối xứng qua trục tung.

6. Các biến thể thường gặp

Đổi vị trí tiêu điểm (nằm trên trục tung hoặc không nằm trên trục toạ độ).Thay đổi hiệu khoảng cách (giá trị 2a khác nhau).Yêu cầu xác định thêm các yếu tố đặc biệt trên hyperbol (tiếp tuyến, đỉnh, tâm...).Điều chỉnh chiến lược bằng cách chuyển hệ tọa độ, hoặc sử dụng phần mềm hỗ trợ khi số liệu phức tạp.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

Lẫn lộn giữa tổng và hiệu của khoảng cách (hyperbol là hiệu, elip là tổng).Sử dụng sai vị trí tiêu điểm hoặc nhập giá trị aakhông đúng.Khắc phục: Tham khảo lại định nghĩa, kiểm tra lại các bước lấy dữ kiện.

7.2 Lỗi về tính toán

Sai khi bình phương hai vế, quên điều kiện tồn tại (không chú ý dấu giá trị tuyệt đối).Sai sót khi tính tọa độ điểm đặc biệt, hoặc nhầm lẫn về hệ trục.Khắc phục: Kiểm tra từng bước, tính nhẩm lại kết quả đơn giản, dùng phần mềm kiểm tra đồ thị.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Khám phá ngay 42.226+ bài tập cách giải Vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học miễn phí trên hệ thống của chúng tôi. Không cần đăng ký, bạn có thể chọn bài phù hợp, luyện tập và kiểm tra đáp án tức thì. Hệ thống còn cung cấp báo cáo tiến độ và gợi ý cách cải thiện kỹ năng.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

Tuần 1: Ôn định nghĩa hình học, các công thức cơ bản về hyperbol.Tuần 2: Thực hành vẽ trên giấy và bằng phần mềm, giải bài cơ bản.Tuần 3-4: Làm bài nâng cao, các biến thể khó, áp dụng vào đề thi thử.Đánh giá: So sánh tiến bộ qua từng tuần, đặt mục tiêu tự giải ít nhất 15-20 bài mỗi tuần.

Tóm lại, nắm vững chiến lược và phương pháp giải bài toán Vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học sẽ giúp bạn tự tin giải mọi dạng bài kiểm tra và vận dụng tốt kiến thức vào thực tiễn hình học lớp 10.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".