Blog

Lớp 10

Chiến lược giải chi tiết bài toán vẽ parabol theo phương trình chính tắc lớp 10

T
Tác giả
•
•9 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán vẽ parabol theo phương trình chính tắc

Vẽ parabol theo phương trình chính tắc là một kỹ năng căn bản và quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10. Bài toán này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ bản chất của dạng đồ thị hàm bậc hai, mà còn là nền móng cho nhiều kiến thức về hàm bậc cao, ứng dụng thực tế và các bài toán đại số, hình học khác. Làm chủ phương pháp giải này là một bước đệm để chinh phục những chủ đề phức tạp hơn sau này.

2. Đặc điểm của bài toán vẽ parabol theo phương trình chính tắc

Phương trình chính tắc của parabol có dạng phổ biến là:

-y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k(parabol hướng lên hoặc xuống)
-x=a(y−k)2+hx = a(y - k)^2 + h(parabol hướng trái hoặc phải)

Trong đó,(h,k)(h, k)là tọa độ đỉnh parabol,aalà hệ số xác định độ rộng và chiều mở. Bài toán tập trung vào việc nhận dạng đặc điểm và xác định các yếu tố cơ bản: đỉnh, trục đối xứng, hướng mở, tiêu điểm, đường chuẩn và vẽ chính xác đồ thị.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Xác định dạng phương trình chính tắc của parabol.
  • Tìm các yếu tố cơ bản: đỉnh, trục đối xứng, hướng mở, tiêu điểm, đường chuẩn.
  • Lập bảng giá trị nếu cần thiết (chọn thêm vài điểm đặc biệt).
  • Phác họa đồ thị trên hệ trục tọa độ Oxy.
  • Kiểm tra lại các yếu tố và hoàn thiện hình vẽ.

    • 4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

    Xét ví dụ: Vẽ đồ thị parabol có phương trình chính tắcy=2(x−1)2−3y = 2(x - 1)^2 - 3.

  • Bước 1: Nhận diện dạng phương trình. Đây là dạngy=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + kvớia=2,h=1,k=−3a = 2, h = 1, k = -3.
  • Bước 2: Xác định đỉnh parabol là A(h,k)=(1,−3)A(h, k) = (1, -3).
    Trục đối xứng:x=1x = 1.
    Vì a=2>0a = 2 > 0nên parabol hướng lên trên.
  • Bước 3: Xác định tiêu điểm và đường chuẩn:

    Tiêu điểm:F(h,k+14a)=(1,−3+18)=(1,−2.875)F\left(h, k + \frac{1}{4a}\right) = \left(1, -3 + \frac{1}{8}\right) = (1, -2.875).
    Đường chuẩn:y=k−14a=−3−18=−3.125y = k - \frac{1}{4a} = -3 - \frac{1}{8} = -3.125.
  • Bước 4: Lập bảng giá trị cho vài giá trị xxlân cận để vẽ đường cong chính xác:

    Ví dụ:
    -x=0⇒y=2(0−1)2−3=2−3=−1x = 0 \Rightarrow y = 2(0-1)^2 - 3 = 2 - 3 = -1
    -x=2⇒y=2(2−1)2−3=2−3=−1x = 2 \Rightarrow y = 2(2-1)^2 - 3 = 2 - 3 = -1
    -x=−1⇒y=2(−1−1)2−3=8−3=5x = -1 \Rightarrow y = 2(-1-1)^2 - 3 = 8 - 3 = 5

    Các điểm(0,−1)(0, -1),(2,−1)(2, -1),(−1,5)(-1, 5).
  • Bước 5: Phác họa đồ thị trên hệ trục tọa độ: Vẽ trục đối xứng, xác định đỉnh, tiêu điểm, đường chuẩn. Đánh dấu các điểm vừa tìm và vẽ đồ thị qua các điểm này.

    • Đồ thị sẽ là một đường cong đi qua các điểm đã xác định, mở lên trên, đối xứng qua đườngx=1x = 1.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Phương trình chính tắc parabol:
    +y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k: Trục đối xứngx=hx = h, mở lên nếua>0a > 0hoặc xuống nếua<0a < 0.
    + Đỉnh:(h,k)(h, k).
    + Tiêu điểm:(h,k+14a)\left(h, k + \frac{1}{4a}\right).
    + Đường chuẩn:y=k−14ay = k - \frac{1}{4a}.
  • Parabolx=a(y−k)2+hx = a(y - k)^2 + h: Trục đối xứngy=ky = k, mở phải nếua>0a > 0, trái nếua<0a < 0.
    + Đỉnh:(h,k)(h, k).
    + Tiêu điểm:(h+14a,k)(h + \frac{1}{4a}, k).
    + Đường chuẩn:x=h−14ax = h - \frac{1}{4a}.
  • Cách xác định điểm: Thayxx(hoặcyy) vào phương trình để tìm các điểm tiêu biểu lên đồ thị.

    • 6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

    - Phương trình parabol cho sẵn không phải dạng chính tắc: Bạn cần đưa về dạng chính tắcy=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + kbằng cách hoàn thành bình phương biểu thức bậc hai.
    - Nếu chỉ cho một phần dữ kiện (như đỉnh, trục đối xứng hoặc một số điểm đặc biệt), hãy sử dụng các điều kiện đó để xác định các tham số a,h,ka, h, krồi tiến hành các bước như thường lệ.

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài tập: Vẽ đồ thị paraboly=−12(x+2)2+4y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 4.

  • Bước 1: Xác địnha=−12a = -\frac{1}{2},h=−2h = -2,k=4k = 4.
    ĐỉnhA(−2,4)A(-2, 4), trục đối xứngx=−2x = -2, parabol mở xuống.
  • Bước 2: Tiêu điểmF(−2,4+14a)=−2,4+14⋅(−12)=−2,4−0.5=(−2,3.5)F\left(-2, 4 + \frac{1}{4a}\right) = -2, 4 + \frac{1}{4 \cdot (-\frac{1}{2})} = -2, 4 - 0.5 = (-2, 3.5).
    Đường chuẩny=4−14a=4+0.5=4.5y = 4 - \frac{1}{4a} = 4 + 0.5 = 4.5.
  • Bước 3: Bảng giá trị:

    x=−2⇒y=4x = -2 \Rightarrow y = 4
    x=−1⇒y=−12(1)2+4=3.5x = -1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}(1)^2 + 4 = 3.5
    x=−3⇒y=−12(1)2+4=3.5x = -3 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}(1)^2 + 4 = 3.5
    x=0⇒y=−12(2)2+4=−2+4=2x = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}(2)^2 + 4 = -2 + 4 = 2
  • Bước 4: Vẽ trên hệ trục, chú ý đồ thị đối xứng quax=−2x = -2, đi qua các điểm(−2,4)(-2, 4),(−1,3.5)(-1, 3.5),(−3,3.5)(-3, 3.5),(0,2)(0, 2), mở xuống.

    • Đánh dấu các yếu tố chính, kiểm tra đối xứng, hoàn thiện hình vẽ.

    8. Bài tập thực hành

  • 1. Vẽ đồ thị parabol sau và chỉ ra đỉnh, trục đối xứng, hướng mở:
    a)a)y = (x + 1)^2 – 2<br><br>b)y=−3(x–2)2+1y = -3(x – 2)^2 + 1
  • 2. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc và vẽ đồ thị:
    x2–4x+3y=6x^2 – 4x + 3y = 6
  • 3. Vẽ parabol và xác định tiêu điểm, đường chuẩn:
    x=12(y+1)2−3x = \frac{1}{2}(y + 1)^2 - 3

    • 9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra kỹ dấu củaaa để vẽ đúng hướng mở của parabol.
  • Ghi nhớ cách hoàn thành bình phương để đưa về dạng chính tắc khi gặp phương trình tổng quát.
  • Khi vẽ, nên xác định nhiều điểm đối xứng hai bên trục để đồ thị chính xác hơn.
  • Chú ý đơn vị trên trục tọa độ, chọn khoảng giá trị hợp lý choxxhoặcyy.
  • Cẩn thận khi tính toán tiêu điểm, đường chuẩn với phân số.
  • Luôn kiểm tra lại tính đối xứng của đồ thị sau khi vẽ.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".