1. Giới thiệu về bài toán xác định miền nghiệm chung của hệ bất phương trình

Bài toán xác định miền nghiệm chung của hệ thường gặp trong chương trình toán lớp 10 thuộc chuyên đề bất phương trình và hệ bất phương trình. Nhiệm vụ của học sinh là tìm tập nghiệm thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Đây là kiến thức nền tảng rất quan trọng, không chỉ giúp rèn luyện tư duy logic, mà còn là bước chuẩn bị thiết yếu cho các bài toán khó hơn về bất phương trình ở các lớp sau, kiểm tra cũng như các kỳ thi lớn.

2. Đặc điểm của loại bài toán này

• - Tập hợp của các bất phương trình (có thể có điều kiện ràng buộc về biến số hoặc miền xác định).
• - Yêu cầu tìm giá trị của từng biến thỏa mãn đồng thời tất cả các điều kiện.
• - Có thể gồm bất phương trình đại số (bậc nhất, bậc hai, …), bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, căn thức, phân thức,…

Điểm mấu chốt là cần tìm miền giá trị chung của biến hoặc tập giá trị chung mà mọi điều kiện đều đúng.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

• a. Xác định rõ loại bất phương trình trong hệ (bậc nhất, bậc hai, căn thức, …) để dùng phương pháp giải phù hợp.
• b. Giải riêng từng bất phương trình trong hệ để tìm miền nghiệm của từng cái.
• c. Tìm giao của các miền nghiệm (phần chung) để xác định viên nghiệm chung của hệ.
• d. Kiểm tra lại nghiệm với điều kiện miền xác định nếu có.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

• Bước 1: Xét miền xác định của từng bất phương trình nếu có căn thức, phân thức.
• Bước 2: Giải từng bất phương trình, đưa về dạng chuẩn để dễ xác định miền nghiệm.
• Bước 3: Biểu diễn các miền nghiệm trên trục số (nếu cần).
• Bước 4: Lấy giao các miền nghiệm để tìm nghiệm chung.
• Bước 5: Kết luận tập nghiệm và thử lại (nếu yêu cầu).

Ví dụ minh họa chi tiết

Giải hệ bất phương trình sau:

Bước 1: Giải bất phương trình thứ nhất:

Bước 2: Giải bất phương trình thứ hai:

Suy ra:$2 \leq x \leq 3$

Bước 3: Tìm giao các miền nghiệm. Miền nghiệm thứ nhất là $x > 2$, miền nghiệm thứ hai là $2 \leq x \leq 3$.

Vậy nghiệm chung của hệ là $2 < x \leq 3$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• - Giải bất phương trình bậc nhất:$ax + b > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{b}{a}$(với$a > 0$),$ax + b < 0 \Leftrightarrow x < -\frac{b}{a}$
• - Giải bất phương trình bậc hai:$ax^2 + bx + c \leq 0$xác định các nghiệm$x_1$,$x_2$rồi xét dấu hoặc vẽ bảng xét dấu.
• - Bất phương trình chứa trị tuyệt đối:$|A| < B \Leftrightarrow -B < A < B$($B > 0$)
• - Bất phương trình chứa căn: Điều kiện xác định$A(x) \geq 0$trước khi giải bất phương trình.
• - Khi lấy giao hai miền nghiệm$I_1$,$I_2$, miền nghiệm chung là phần đồng thời xuất hiện ở cả hai miền (hình dung trên trục số).

6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Hệ có nhiều hơn hai bất phương trình: Làm tương tự, giải riêng từng bất phương trình rồi lấy giao tất cả các miền nghiệm.

- Hệ gồm bất phương trình dạng đặc biệt: Có thể là bất phương trình phân thức, chứa trị tuyệt đối, logarit...(khối 10 chủ yếu tới căn thức, trị tuyệt đối, phân thức). Với mỗi dạng, trước tiên phải xác định điều kiện xác định của từng bất phương trình trước khi giải. Nếu có căn hoặc mẫu, nhớ điều kiện$A(x) \geq 0$,$A(x) <br> \neq 0$, v.v.

- Tất cả các tìm nghiệm đều phải nằm trên miền xác định chung của hệ!

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Tìm miền nghiệm chung của hệ sau:

Bước 1: Xét điều kiện xác định:$x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

Bước 2: Giải bất phương trình$x^2 - 4x + 3 > 0$

Bước 3: Lấy giao miền nghiệm với điều kiện xác định:$x \, \geq 1$, do đó nghiệm chung chỉ còn$x > 3$.

Vậy nghiệm chung là $x > 3$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

• (1) Tìm miền nghiệm chung của hệ:
• \begin{cases}
  3x + 2 \leq 5 \\
  x^2 - 2x - 8 \geq 0
  \end{cases}
• (2) Tìm nghiệm chung của hệ:
• \begin{cases}
  |x - 2| < 3 \\
  x > 0
  \end{cases}
• (3) Xác định miền nghiệm chung của:
• \begin{cases}
  \frac{x-1}{x+2} < 0 \\
  x^2 > 4
  \end{cases}

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm thường gặp

• - Luôn xác định điều kiện xác định với bất phương trình có căn, mẫu.
• - Khi vẽ trục số, cần chú ý thứ tự các khoảng và loại dấu (dấu bằng, không bằng).
• - Đừng quên kiểm tra lại với miền xác định chung.
• - Với trị tuyệt đối, luôn nhớ tách thành hai trường hợp để giải.
• - Phân biệt rõ dấu$>$,$\geq$,$<$,$\leq$khi lấy giao các tập nghiệm.
• - Giao có thể là rỗng nếu các miền nghiệm không trùng nhau; cần chú ý kết luận đúng.

Tổng kết

Bài toán xác định miền nghiệm chung của hệ là một trong những dạng bài trọng tâm và cơ bản của chương trình toán lớp 10. Nắm vững "cách giải bài toán xác định miền nghiệm chung của hệ" sẽ giúp học sinh trở nên tự tin hơn trong các kỳ kiểm tra, đồng thời phát triển tư duy logic, phản xạ toán học cùng kỹ năng giải quyết vấn đề. Điều quan trọng nhất là phải luyện tập thật nhiều với các dạng bài đa dạng và luôn chú ý tới chi tiết điều kiện xác định trong từng bài toán.