Blog

Lớp 10

Chiến lược giải bài toán Xác suất tổ hợp lớp 10: Hướng dẫn đầy đủ và ví dụ minh họa

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán xác suất tổ hợp và tầm quan trọng

Bài toán xác suất tổ hợp là dạng toán kết hợp giữa hai kiến thức nền tảng: xác suất và tổ hợp. Đây là những vấn đề thường xuyên xuất hiện trong chương trình Toán lớp 10 cũng như các kỳ thi học sinh giỏi, thi cuối kỳ và đặc biệt là trong phần "Xác suất và Thống kê". Việc nắm vững cách giải bài toán xác suất tổ hợp giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, phát triển kỹ năng lập luận, đồng thời mở rộng ứng dụng thực tiễn trong khoa học, công nghệ, đời sống.

2. Đặc điểm của bài toán xác suất tổ hợp

Bài toán xác suất tổ hợp thường có các đặc điểm chính:

  • Gắn liền với hiện tượng ngẫu nhiên, yêu cầu tính xác suất của một (hay một tập hợp) biến cố.
  • Bao gồm các bài toán chứa tính đếm: chọn, sắp xếp, phân chia, ghép nhóm, gán vị trí, chia tổ,…
  • Kết hợp chặt chẽ giữa kỹ thuật tổ hợp (liệt kê, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) và công thức xác suất.
  • Nhiều bài toán yêu cầu xác định biến cố hợp, giao, đối hoặc dạng nhiều bước, nhiều điều kiện.

    • 3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán xác suất tổ hợp

  • Bước 1: Đọc kỹ đề bài, xác định biến cố cần tính xác suất.
  • Bước 2: Xác định không gian mẫu (gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra), ký hiệu là Ω\Omega.
  • Bước 3: Xác định số phần tử của biến cố cần xét.
  • Bước 4: Dùng công thức xác suấtP(A)=n(A)n(Ω)P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}để tính xác suất xác suất biến cốAA.
  • Bước 5: Kiểm tra lại kết quả, đảm bảo phép đếm đúng logic.

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ minh họa 1: Cho một hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Tính xác suất để lấy được toàn bi đỏ?

    • Bước 1: Xác định không gian mẫu$
      Khác nhau về thứ tự chọn nên dùng tổ hợp. Số cách chọn 3 viên bất kỳ là:

    n(Ω)=C103=120n(\Omega) = \mathrm{C}_{10}^3 = 120

    • Bước 2: Xác định số trường hợp lấy được 3 bi đỏ:

    n(A)=C63=20n(A) = \mathrm{C}_{6}^3 = 20

    • Bước 3: Tính xác suất:

    P(A)=n(A)n(Ω)=20120=16P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}

    Ví dụ minh họa 2: Bốc ngẫu nhiên 2 lá bài từ bộ bài tây 52 lá. Tính xác suất để được 2 lá cùng chất.

  • Không gian mẫu:
    n(Ω)=C522=1326n(\Omega) = \mathrm{C}_{52}^2=1326
  • Số trường hợp 2 lá cùng chất: Có 4 chất, mỗi chất có C132=78\mathrm{C}_{13}^2 = 78trường hợp.

    Tổng:4×78=3124 \times 78 = 312.
  • Xác suất cần tìm:
    P=3121326=24102.5=24103(laˋmtroˋn)P=\frac{312}{1326}=\frac{24}{102.5}=\frac{24}{103} (làm tròn)

    • 5. Các công thức & kỹ thuật tổ hợp, xác suất cần nhớ

    - Công thức xác suất cổ điển:P(A)=n(A)n(Ω)P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}

    - Số cách chọnkkphần tử từ nnphần tử: tổ hợpCnk=n!k!(n−k)!\mathrm{C}_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

    - Số hoán vị củannphần tử:n!n!

    - Số chỉnh hợpkkcủannphần tử:Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

    - Tính xác suất hợp, giao và đối của biến cố:
    + NếuA,BA, Blà hai biến cố bất kỳ:
    P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
    P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)

    6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

    Một số biến thể thường gặp:

  • Các điều kiện bổ sung: lấy ít nhất, nhiều nhất, không lấy được cùng loại, v.v.
  • Biến cố hợp, giao, đối: Xuất hiện nhiều phương án, cần vẽ sơ đồ ven, xét các trường hợp riêng.
  • Bài toán nhiều bước, lấy có hoàn lại hoặc không hoàn lại.
    • Hình minh họa: Sơ đồ minh họa các bước tính xác suất: xác định biến cố A, không gian mẫu Ω, đếm n(A) và n(Ω), áp dụng công thức P(A)=n(A)/n(Ω) và kiểm tra kết quả
    Sơ đồ minh họa các bước tính xác suất: xác định biến cố A, không gian mẫu Ω, đếm n(A) và n(Ω), áp dụng công thức P(A)=n(A)/n(Ω) và kiểm tra kết quả
  • Biến đổi bài toán về đếm số trường hợp còn lại.

    • Chiến lược điều chỉnh:

  • - Nếu khó đếm trực tiếp, có thể tính số trường hợp đối rồi lấy1−P(A)1 - P(A).
  • - Chia trường hợp/phân tích theo biến cố hợp/giao, chú ý KHÔNG tính trùng.
  • - Vẽ sơ đồ ven/ cây để minh hoạ các trường hợp phức tạp.

    • 7. Bài tập mẫu (kèm giải chi tiết theo từng bước)

    Bài tập: Một lớp có 7 nam và 5 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để tổ được chọn có ít nhất 1 nữ.

  • Bước 1. Không gian mẫu: tổngn(Ω)=C123=220n(\Omega) = \mathrm{C}_{12}^3 = 220
  • Bước 2. Biến cố AA: Tổ có "ít nhất 1 nữ". Sử dụng phép đối: Tổ "không có nữ" = chỉ có nam.
  • Số tổ chỉ có nam:C73=35\mathrm{C}_7^3 = 35.
  • Số tổ có ít nhất 1 nữ:220−35=185220 - 35 = 185.
  • Bước 3. Xác suất:
    P(A)=185220=3744P(A) = \frac{185}{220} = \frac{37}{44}

    • 8. Bài tập thực hành

  • Bài 1: Một nhóm có 5 nam, 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 người. Tính xác suất để chọn được 2 nam, 2 nữ.
  • Bài 2: Một hộp có 8 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Tính xác suất lấy được ít nhất 1 viên bi đỏ.
  • Bài 3: Xếp ngẫu nhiên 4 bạn vào 4 ghế. Tính xác suất bạn A ngồi đúng vị trí số 1.

    • 9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm thường gặp

  • - Xác định rõ bài toán là chọn (dùng tổ hợp), sắp xếp (dùng hoán vị atau chỉnh hợp) để tránh nhầm lẫn.
  • - Đối với điều kiện "ít nhất/một cái gì đó", thường nên xét biến cố đối.
  • - Khi có nhiều điều kiện đồng thời, hãy xét giao hợp/ phân chia trường hợp cụ thể.
  • - Kiểm tra kỹ số liệu, đọc kỹ đề để tránh sót trường hợp.
  • - Viết câu trả lời rõ, ghi kết quả thành phân số tối giản.

    • Tổng kết

    Bài toán xác suất tổ hợp là nền tảng của tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh lớp 10. Hiểu và áp dụng đúng các bước, công thức, kèm với luyện tập nhiều dạng đề sẽ giúp bạn thành thạo cách giải bài toán xác suất tổ hợp, không chỉ phục vụ kiểm tra mà còn ứng dụng lâu dài trong toán học và các lĩnh vực khác.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".