1. Giới thiệu về bài toán giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng biểu diễn hình học

Giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, khả năng hình dung hình học đồng thời áp dụng các kiến thức cơ bản về hàm số, bất phương trình và biểu diễn hình học trên mặt phẳng tọa độ. Đây là dạng bài xuất hiện nhiều trong kiểm tra đánh giá năng lực và đặc biệt hữu ích khi giải quyết các vấn đề thực tiễn, tối ưu hóa.

2. Đặc điểm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Mỗi bất phương trình hai ẩn bậc nhất có dạng$ax + by + c > 0$,$ax + by + c < 0$,$ax + by + c \geq 0$hoặc$ax + by + c \leq 0$.
• Tập nghiệm của mỗi bất phương trình là nửa mặt phẳng được giới hạn bởi đường thẳng$ax + by + c = 0$.
• Hệ bất phương trình gồm hai hoặc nhiều bất phương trình, nghiệm là phần giao các miền xác định bởi từng bất phương trình.
• Ta thường giải bằng phương pháp biểu diễn hình học (vẽ đồ thị các đường thẳng, xác định miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy).

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán

1. Chuyển mỗi bất phương trình về dạng chuẩn nếu cần.
2. Vẽ đường thẳng tương ứng với mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.
3. Xác định nửa mặt phẳng biểu diễn tập nghiệm cho từng bất phương trình.
4. Giao các miền nghiệm lại với nhau để tìm nghiệm chung của hệ.
5. Biểu diễn miền nghiệm trên hình vẽ hoặc nêu rõ bằng bất phương trình tọa độ, nếu đề bài yêu cầu.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau bằng biểu diễn hình học:

1. Chuyển về dạng chuẩn
2. - Bất phương trình$(1)$:$x + y \geq 2$(đường thẳng$x + y = 2$)
3. - Bất phương trình$(2)$:$x - y < 1$(đường thẳng$x - y = 1$)

Bước 1: Vẽ hai đường thẳng$x + y = 2$và $x - y = 1$trên mặt phẳng Oxy.

Bước 2: Xác định miền nghiệm từng bất phương trình.

• Với$x + y \geq 2$, chọn điểm$O(0,0)$kiểm tra:$0 + 0 = 0 < 2$nên miền nghiệm nằm phía không chứa điểm$O$.
• Với$x - y < 1$, cũng chọn$O(0,0)$:$0 - 0 = 0 < 1$nên miền nghiệm là phía chứa điểm$O$.

Bước 3: Giao hai miền trên là miền nghiệm của hệ.

Bước 4: Biểu diễn hình học: Tô đậm miền giao nhau hai nửa mặt phẳng trên mặt phẳng Oxy. Miền này là nghiệm của hệ.

Lưu ý cách xác định miền nghiệm: Dùng điểm thử tiện lợi (thường là $O(0,0)$nếu không nằm trên đường thẳng) để nhanh chóng xác định bên nào là miền nghiệm.

Biểu diễn nghiệm bằng điều kiện tọa độ:$\{(x, y) \mid x + y \geq 2, \x - y < 1 \}$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Đường thẳng$ax + by + c = 0$chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng:
  -$ax + by + c > 0$: một phía
  -$ax + by + c < 0$: phía còn lại
• Để xác định miền thoả mãn: Thay toạ độ điểm bất kỳ (thường là $O(0,0)$) vào bất phương trình gốc.
• Nếu bất phương trình kiểu$\geq$hoặc$\leq$thì thêm cả đường biên vào miền nghiệm.
• Biểu diễn hệ nghiệm cuối cùng là phần giao các miền tương ứng từng bất phương trình.

6. Các biến thể của bài toán & cách điều chỉnh chiến lược

• Hệ gồm nhiều hơn hai bất phương trình: cứ mỗi bất phương trình lại thêm một miền, giao lại để xác định miền chung.
• Nếu bất phương trình chứa tham số: Xử lý riêng phần tham số, xác định điều kiện để có giao nhau.
• Bất phương trình có dạng$a_1x + b_1y + c_1 \geq 0$và $a_2x + b_2y + c_2 \leq 0$với các dạng đường thẳng đặc biệt song song, trùng nhau, giao nhau tại một điểm duy nhất… phải xét thêm trường hợp riêng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Giải và biểu diễn hình học nghiệm của hệ sau:

1. Vẽ đường thẳng$2x - y = 4$và $x + 2y = 2$
2. Xác định miền nghiệm từng bất phương trình
3. - Với$2x - y \leq 4$, thử $O(0,0)$:$2 \cdot 0 - 0 = 0 \leq 4$(chứa điểm$O$)
4. - Với$x + 2y > 2$, thử $O(0,0)$:$0 + 0 = 0 < 2$(không chứa$O$)
5. Miền nghiệm là phía chứa$O$với$2x - y \leq 4$và phía không chứa$O$với$x + 2y > 2$
6. Tô đậm phần giao hai miền này trên hình vẽ, đó là nghiệm của hệ

Giải thích:
- Đường$2x - y = 4$ đi qua$A(2,0)$và $B(0,-4)$;
- Đường$x + 2y = 2$qua$C(2,0)$và $D(0,1)$;
- Xác định miền bằng điểm thử $O(0,0)$;
- Miền nghiệm là tập hợp các điểm$(x, y)$sao cho$2x - y \leq 4$và $x + 2y > 2$.

8. Bài tập tự luyện

1. Giải và biểu diễn hình học nghiệm của hệ:
   $$\begin{cases} x - 2y \geq 0 \\y \leq 3 \\x + y < 4 \\\end{cases}$$
2. Giải bài toán: Tìm tất cả các điểm$(x, y)$nguyên (cả $x, y$nguyên) thuộc miền nghiệm của hệ:
   $$\begin{cases} x + y > 1 \\x - 2y < 4 \\\end{cases}$$
3. Với tham số $m$, giải hệ:
   $$\begin{cases} x + my \geq 2 \\x - y < 1 \\\end{cases}$$
   . Xác định giá trị của$m$ để hệ có miền nghiệm không rỗng.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn vẽ chính xác đường thẳng (đủ 2 điểm đặc trưng hoặc tìm giao với trục$Ox$,$Oy$).
• Kiểm tra kỹ miền nghiệm bằng chọn đúng điểm thử.
• Chú ý lấy đúng dấu$\geq, >, \leq, <$trong từng miền, tránh nhầm lẫn khi chuyển vế hoặc nhân/dìm hai vế với số âm.
• Khi vẽ cả hệ, nên tô đậm miền giao cuối cùng để nhìn rõ vùng nghiệm cần tìm.
• Chú ý hệ có thể không có miền nghiệm (vô nghiệm), kiểm tra nếu các miền không giao nhau.
• Không quên kể cả đường biên với các dấu$\geq, \leq$và loại đi đường biên khi gặp dấu$>, <$.