1. Giới thiệu về bài toán Đưa phương trình chứa căn, phân thức, giá trị tuyệt đối về bậc hai

Phương trình chứa căn, phân thức và giá trị tuyệt đối là dạng bài toán thường gặp trong chương trình Toán lớp 10. Rất nhiều dạng bài khó, phức tạp đều có thể quy về phương trình bậc hai khi biến đổi hợp lý. Việc nắm chắc chiến lược và kỹ thuật đưa các phương trình này về dạng bậc hai giúp học sinh giải quyết trơn tru các dạng toán từ cơ bản tới nâng cao, đồng thời phát triển tư duy logic và nền tảng toán học vững chắc cho các lớp trên.

2. Đặc điểm của các phương trình chứa căn, phân thức, giá trị tuyệt đối

Dạng phương trình này thường có một hoặc nhiều biểu thức chứa căn $\sqrt{A(x)}$, biểu thức phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$hoặc các giá trị tuyệt đối$|B(x)|$. Chúng gây khó khăn cho học sinh ở việc xác định điều kiện xác định, cách khử mẫu, khử căn, hay phá dấu giá trị tuyệt đối sao cho đồng thời đơn giản hóa và không làm mất nghiệm.

3. Chiến lược tổng thể: Cách giải bài toán Đưa phương trình chứa căn, phân thức, giá trị tuyệt đối về bậc hai

Chiến lược chung khi giải dạng này là:

• Bước 1: Xác định điều kiện xác định của phương trình
• Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng đơn giản, cố gắng khử căn, khử mẫu, phá giá trị tuyệt đối để đưa về phương trình bậc hai chuẩn
• Bước 3: Giải phương trình bậc hai vừa thu được
• Bước 4: Đối chiếu nghiệm thu được với điều kiện xác định ban đầu
• Bước 5: Kết luận nghiệm

4. Các bước giải cụ thể với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{2x+3} = x + 1$

• Bước 1: Xác định điều kiện xác định:$2x+3 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{3}{2}$
• Bước 2: Bình phương hai vế để khử căn:
• $(\sqrt{2x+3})^2 = (x+1)^2 \Rightarrow 2x+3 = x^2 + 2x + 1$
• Bước 3: Đưa về phương trình bậc hai:
• $x^2 + 2x + 1 -2x - 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 2 = 0$
• Bước 4: Giải phương trình bậc hai: $x^2 = 2 \rightarrow x = \pm \sqrt{2}$
• Bước 5: Đối chiếu với điều kiện xác định:
• + $x = \sqrt{2} \approx 1.414 > -1.5$: Thỏa mãn
  + $x = -\sqrt{2} \approx -1.414 > -1.5$: Thỏa mãn
• Tuy nhiên cần kiểm tra lại nghiệm vì lấy căn hai vế có thể phát sinh nghiệm ngoại lai. Thử lại từng nghiệm:
• Thay $x = \sqrt{2}$, $\sqrt{2x+3} = \sqrt{2\sqrt{2}+3} \approx \sqrt{5.828} \approx 2.414$, $x+1 = \sqrt{2} +1 \approx 2.414$ (Thoả mãn).
• Thay $x = -\sqrt{2}$, $\sqrt{2x+3} = \sqrt{-2\sqrt{2}+3} \approx \sqrt{0.172} \approx 0.415$, $x+1 \approx -0.414$, không thỏa mãn vì căn thức ra số dương, vế phải ra số âm, không bằng nhau.
• Vậy nghiệm duy nhất là $x = \sqrt{2}$.

Tóm lại, các dạng bài với phân thức, căn hoặc giá trị tuyệt đối đều nên:
- Xác định miền xác định (điều kiện xác định)
- Khử mẫu, khử căn, phá giá trị tuyệt đối đúng kỹ thuật
- Đưa về phương trình bậc hai thường gặp

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• $(\sqrt{A})^2 = A$với$A \geq 0$
• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $$|A| = \begin{cases}A & (A \geq 0) \\-A & (A < 0)\\\end{cases}$$
• $\frac{A}{B} = C \Leftrightarrow A = BC$, với$B <br> \neq 0$
• Cách giải phương trình bậc hai:$ax^2+bx+c=0$với$\Delta = b^2-4ac$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Nếu phương trình có nhiều căn: Đặt ẩn phụ hoặc quy đồng về cùng căn rồi bình phương.
• Có nhiều phân thức: Quy đồng mẫu, khử mẫu rồi tiếp tục biến đổi.
• Có nhiều giá trị tuyệt đối: Xét từng trường hợp theo dấu của biểu thức trong dấu trị tuyệt đối.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Giải phương trình sau:
$\left| x-3 \right| = 2x + 1$

• Bước 1: Xét 2 trường hợp theo dấu của$x-3$
• Trường hợp 1:$x-3 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 3$
  $\Rightarrow x-3 = 2x+1 \Rightarrow x-2x = 1+3 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x = -4$(không thỏa mãn$x \geq 3$)
• Trường hợp 2:$x-3<0\Longrightarrow x<3$
  $\Rightarrow -(x-3)=2x+1 \Rightarrow -x+3=2x+1 \Rightarrow 3-1 = 2x + x \Rightarrow 2 = 3x \Rightarrow x=\frac{2}{3}$(thỏa mãn$x<3$)
• Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{2}{3}$.

8. Bài tập rèn luyện tự giải

• 1. $\sqrt{x+5} = x-1$
• 2.$\left|2x-1\right| = x+3$
• 3.$\frac{x+1}{x-2} = 3$
• 4. $\sqrt{9-x} + x = 5$
• 5.$\left|x+4\right| = 2 - x$

9. Mẹo, lưu ý và tránh sai lầm thường gặp

• Luôn xác định điều kiện xác định trước khi biến đổi phương trình.
• Sau khi bình phương hay khử mẫu phải kiểm tra nghiệm lại, tránh nhận nghiệm ngoại lai.
• Chú ý các trường hợp giá trị tuyệt đối, cần chia các khoảng theo dấu để không bị bỏ sót hoặc sai dấu.
• Với phân thức, mẫu luôn phải khác 0.
• Hãy luyện tập nhiều dạng bài để thành thạo các kỹ thuật.

Hy vọng qua bài viết này, học sinh sẽ nắm được cách giải bài toán đưa phương trình chứa căn, phân thức, giá trị tuyệt đối về bậc hai, từ đó làm chủ dạng bài này trong các kỳ thi quan trọng.