Chiến lược giải quyết bài toán Áp dụng định lý cosin để tính cạnh hoặc góc lớp 10

1. Giới thiệu về dạng bài toán Áp dụng định lý cosin để tính cạnh hoặc góc lớp 10

Dạng bài "Áp dụng định lý cosin để tính cạnh hoặc góc" thường gặp trong chương trình Hình học 10, đặc biệt khi giải các bài toán về tam giác không phải tam giác vuông. Dạng toán này xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra, thi học kỳ và cả đề thi tuyển sinh vào 10 cũng như kỳ thi THPT Quốc gia. Hiểu và thành thạo dạng này giúp học sinh tự tin xử lý nhiều bài toán hình học nâng cao hơn.

🏆 Luyện tập cách giải Áp dụng định lý cosin để tính cạnh hoặc góc miễn phí với 42.226+ bài tập thực hành hấp dẫn!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Xuất hiện tam giác không vuông, yêu cầu tính cạnh/góc chưa biết.
• Từ khóa đặc trưng: "tính độ dài cạnh", "tính số đo góc", "tam giác ABC...", "biết hai cạnh và góc xen giữa", hoặc "biết ba cạnh".
• Phân biệt với định lý sin: Định lý cosin thường dùng khi
  - Biết hai cạnh và góc xen giữa cần tính cạnh còn lại
  - Biết ba cạnh cần tính một góc.

2.2 Kiến thức cần thiết

• Định lý cosin:
• Với tam giác$ABC$, ta luôn có:
• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
• (Tương tự cho các cạnh và góc khác)
• Kĩ năng biến đổi công thức, tính toán, sử dụng máy tính.
• Nhận biết mối liên hệ với các chủ đề: tỉ số lượng giác, chu vi, diện tích tam giác.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Đọc kỹ đề để xác định yêu cầu: tìm cạnh hay tìm góc?
• Xác định dữ liệu cho sẵn: giá trị các cạnh, các góc của tam giác.
• Tìm thông tin thiếu cần giải.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Chọn định lý hoặc công thức cần áp dụng (cosin hay sin).
• Viết biểu thức cụ thể cho bài toán.
• Dự đoán kết quả hợp lý (cạnh lớn hơn cạnh nhỏ, góc nhọn hay tù...).

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Áp dụng chính xác công thức, thay số từng bước.
• Sử dụng máy tính để tính kết quả và làm tròn nếu cần.
• Kiểm tra lại kết quả qua các mối quan hệ trong tam giác (tổng các góc bằng$180^\circ$, cạnh đối diện góc lớn nhất là cạnh lớn nhất...).

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Viết công thức cosin phù hợp theo dữ kiện đề.

- Từ dữ kiện, thay số vào công thức và giải tìm ra cạnh (hoặc góc).

- Ưu điểm: Đảm bảo chính xác, dễ kiểm tra; nhược điểm: Tốn thời gian với bài toán nhiều bước hoặc dữ kiện phức tạp.

- Sử dụng khi đề bài cho hai cạnh kèm góc xen giữa, hoặc đủ ba cạnh (tìm góc).

4.2 Phương pháp nâng cao

• Nhận diện kiểu đề để rút gọn công thức (ví dụ tam giác cân, tam giác vuông).
• Áp dụng mẹo nhớ: “Cạnh đối, góc xen giữa” để không nhầm vị trí các đại lượng trong công thức.
• Dùng bảng giá trị cosin hoặc máy tính cầm tay để giải nhanh hơn.
• Kiểm tra nhanh bằng cách so sánh kết quả các bước lặp lại nếu có nhiều cách giải tiếp cận.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Cho tam giác$ABC$có $AB = 5$,$AC = 7$,$\angle BAC = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh$BC$.

Lời giải:

Áp dụng định lý cosin với$BC = a$,$AB = b = 5$,$AC = c = 7$,$\angle BAC = A = 60^\circ$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

Thay số:
$a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ <br />$= 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2}$<br /> = 74 - 35 = 39$
Vậy $a = \sqrt{39} \approx 6.24$ (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Giải thích: Dữ kiện đủ để áp dụng định lý cosin, thay số theo vị trí đúng từng cạnh, góc xen giữa.

5.2 Bài tập nâng cao

Cho tam giác$ABC$biết$AB = 6$,$BC = 8$,$CA = 10$. Tính số đo góc$ABC$.

Cách 1: Dùng công thức cosin để tính góc$B$ đối diện cạnh$AC = 10$.
$b = 8, c = 6, a = 10$
Công thức:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
$10^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \times 8 \times 6\cos B$
$100 = 64 + 36 - 96\cos B \Rightarrow 100 = 100 - 96\cos B$
$0 = -96\cos B \Rightarrow \cos B = 0 \Rightarrow B = 90^\circ$

Cách 2: Có thể áp dụng định lý sin nếu đã có một góc, so sánh các cách: Cosin phù hợp vì đã biết đủ ba cạnh.

So sánh ưu nhược điểm: Cosin giúp giải trực tiếp, dễ kiểm tra kết quả đúng.

6. Các biến thể thường gặp

• Bài toán cho ba cạnh tam giác, hỏi góc.
• Bài toán cho hai cạnh và góc không xen giữa, cần biến đổi các bước để sử dụng cosin.
• Có thêm điều kiện về loại tam giác: tam giác cân, vuông, hay tù.
• Cần chú ý chuyển đổi sang định lý sin nếu góc nằm ngoài hai cạnh cho trước.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Dùng nhầm định lý sin thay vì cosin, hoặc áp dụng sai công thức.
• Xác định sai cạnh/góc đối hoặc xen giữa.
• Khắc phục: Vẽ hình minh họa và kiểm tra ký hiệu cạnh/góc chính xác.

7.2 Lỗi về tính toán

• Nhập sai số vào máy tính, nhầm lẫn giữa độ và radian.
• Làm tròn số sớm, dẫn đến kết quả thiếu chính xác.
• Kiểm tra: So sánh với điều kiện bài toán, làm tròn kết quả ở bước cuối cùng.

8. Luyện tập miễn phí ngay

💡 Truy cập ngay 42.226+ bài tập cách giải Áp dụng định lý cosin để tính cạnh hoặc góc miễn phí, không cần đăng ký. Hệ thống tự động chấm điểm và theo dõi tiến độ, giúp bạn luyện tập hiệu quả mọi lúc, mọi nơi!

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• Lên lịch ôn tập 2-3 buổi/tuần (mỗi buổi tối thiểu 30 phút)
• Chia bài tập thành nhóm: cơ bản – nâng cao – biến thể.
• Đặt mục tiêu mỗi tuần: hoàn thành ít nhất 10-20 bài.
• Sau mỗi tuần, tự đánh giá kết quả (tỉ lệ đúng, điểm số được cải thiện) để điều chỉnh chiến lược học tập.