1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán áp dụng định lý cosin để tính cạnh hoặc góc thường xuất hiện trong chương trình Hình học lớp 10, thuộc Chương IV – Hệ thức lượng trong tam giác. Dạng toán này yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt định lý cosin để:

• Tính cạnh trong một tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa
• Tính góc trong tam giác khi biết ba cạnh

Dạng toán này xuất hiện với tần suất cao trong đề kiểm tra, đề thi giữa kỳ, học kỳ, và các đề thi học sinh giỏi. Đây là dạng cơ bản và nền tảng giúp phát triển tư duy giải toán hình học, hỗ trợ cho các chủ đề lượng giác sau này. 40.504+ bài tập luyện tập miễn phí đang chờ bạn thực hành và củng cố kiến thức!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Các đề bài có từ khóa: “tính cạnh”, “tìm góc”, “tam giác”, “biết hai cạnh và góc xen giữa/hay ba cạnh”
• Cho 3 dữ kiện trong tam giác: 2 cạnh – 1 góc xen giữa, hoặc 3 cạnh
• Phân biệt với định lý sin: định lý sin thường yêu cầu tỉ số cạnh/góc đối diện

2.2 Kiến thức cần thiết

• Công thức định lý cosin:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$(và các hệ thức hoán vị tương ứng)
• Kỹ năng biến đổi đại số, giải phương trình bậc hai, sử dụng máy tính cầm tay
• Mối liên hệ lượng giác (so sánh với định lý sin, tính toán góc phụ thuộc vào giá trị cosine)

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• - Xác định các dữ liệu đã cho (cạnh, góc)
• - Xác định yêu cầu: tính cạnh hay tính góc?
• - Đọc kỹ, gạch chân từ khóa để tránh nhầm lẫn với dạng định lý sin

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• - Chọn công thức cosin phù hợp (tính cạnh hoặc tính góc)
• - Đặt ẩn hợp lý nếu việc giải yêu cầu nhiều bước
• - Ước lượng sơ bộ để kiểm tra logic bài làm

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• - Áp dụng công thức cosin, thế số chính xác từng bước
• - Cẩn thận khi tính giá trị lượng giác, đặc biệt là bước lấy căn, tìm cos hoặc góc với máy tính
• - Kiểm tra lại kết quả: hợp lý, nằm trong miền giá trị hợp lệ (0° < góc < 180°, cạnh > 0...)

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Áp dụng trực tiếp công thức định lý cosin để tìm giá trị cần tính. Ưu điểm: dễ hiểu, chính xác. Nhược điểm: đôi khi dài dòng với nhiều bước trung gian.

Sử dụng khi đề bài cho 2 cạnh & 1 góc xen giữa (tính cạnh còn lại), hoặc biết 3 cạnh (tính góc).

4.2 Phương pháp nâng cao

Sử dụng biến đổi nhanh, tối ưu hóa phép tính (chuyển vế hợp lý, tận dụng tính chất đối xứng của công thức cosin). Ghi nhớ mẫu số: Nếu tính góc$A$:$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Mẹo: Tận dụng máy tính cầm tay với các phím cos, acos, sqrt để giảm sai sót tính toán. Nhớ kiểm tra mode (DEG hoặc RAD) khi tính góc!

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Cho tam giác$ABC$có $AB = 8$,$AC = 6$,$heta = \angle BAC = 60^\circ$. Tính cạnh$BC$.

Lời giải:

Áp dụng định lý cosin:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

Với$a = BC$,$b = AB = 8$,$c = AC = 6$,$A = 60^\circ$:

$BC^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \times 8 \times 6 \cos 60^\circ$

Vì $\cos 60^\circ = 0{,}5$, nên:

$BC^2 = 64 + 36 - 2 \times 8 \times 6 \times 0{,}5 = 100 - 48 = 52$

$BC = \sqrt{52} \approx 7{,}21$

Giải thích: Áp dụng đúng công thức, thay số cẩn thận, kiểm tra bước tính.

5.2 Bài tập nâng cao

Cho tam giác$ABC$có $AB = 7$,$BC = 9$,$AC = 10$. Tính góc$B$.

Giải cách 1 (trực tiếp):

Áp dụng công thức cosin:

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}$

Thay số:

$\cos B = \frac{7^2 + 9^2 - 10^2}{2 \times 7 \times 9} = \frac{49 + 81 - 100}{126} = \frac{30}{126} = \frac{5}{21}$

$B = \cos^{-1} \left(\frac{5}{21}\right) \approx 76{,}24^\circ$

So sánh: Cách giải này phù hợp khi có máy tính cầm tay. Nếu không, có thể tính góc gần đúng bằng bảng giá trị.

6. Các biến thể thường gặp

• Dạng tính cạnh khi biết 2 cạnh, 1 góc xen giữa (ABC, biết AB, AC, góc giữa)
• Tính góc khi biết 3 cạnh
• Bài toán yêu cầu chứng minh hệ thức dựa trên cosin

Mẹo: Nếu đề cho 3 cạnh – chắc chắn phải dùng định lý cosin!

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Nhầm lẫn định lý cosin với định lý sin.
• Áp dụng sai công thức (nhầm vị trí các cạnh/góc).
• Khắc phục: Đọc kỹ đề, ghi chú rõ các ký hiệu.

7.2 Lỗi về tính toán

• Lỗi khi nhập số vào máy tính/nhân chia sai.
• Làm tròn quá sớm dẫn đến kết quả sai lệch.
• Khắc phục: Giữ đủ chữ số thập phân ở bước giữa, chỉ làm tròn ở cuối.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 40.504+ bài tập cách giải Áp dụng định lý cosin để tính cạnh hoặc góc miễn phí! Không cần đăng ký, bạn có thể thực hành ngay lập tức, theo dõi tiến độ, và cải thiện kỹ năng giải toán lớp 10 của mình.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• Tuần 1: Luyện các bài tập cơ bản – thay số, áp dụng trực tiếp công thức
• Tuần 2: Ôn tập các bài nâng cao – tính góc, biến đổi phương trình
• Tuần 3: Kiểm tra kỹ năng với đề tổng hợp nhiều biến thể
• Đặt mục tiêu: Giải tối thiểu 5-10 bài/ngày, đối chiếu với đáp án, tự đánh giá tiến bộ mỗi tuần.