1. Giới thiệu về bài toán áp dụng định lý cosin

Định lý cosin là một trong những công cụ trọng yếu của hình học lớp 10 dùng để giải quyết các bài toán liên quan tới tam giác, đặc biệt là khi dữ kiện không nằm trong các trường hợp đặc biệt như tam giác vuông hay cân. Việc thành thạo cách giải bài toán áp dụng định lý cosin giúp học sinh chủ động xử lý nhiều dạng đề, đồng thời tạo nền tảng cho các bài toán nâng cao hơn ở các cấp lớp sau.

2. Đặc điểm và ý nghĩa của dạng bài này

Bài toán áp dụng định lý cosin thường xuất hiện khi tam giác cho trước không phải tam giác vuông, hoặc bài toán yêu cầu tính cạnh/góc dựa trên ba cạnh hoặc hai cạnh và một góc kẹp. Tính thực tiễn cao, xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, thi học kỳ, thi vào 10 cũng như thực tế ứng dụng.

• Các dạng bài điển hình:

• Tính độ dài cạnh khi biết hai cạnh và góc kẹp giữa hai cạnh.
• Tính số đo góc khi biết đủ độ dài ba cạnh của tam giác.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Các bước cơ bản gồm:

• Xác định rõ dữ kiện đã cho (cạnh, góc).
• Vẽ hình minh hoạ và ký hiệu các cạnh, các góc rõ ràng.
• Đặt tên các cạnh và góc theo ký hiệu tiêu chuẩn ($a, b, c$là các cạnh đối diện với các góc$A, B, C$).
• Áp dụng công thức phù hợp: tính cạnh hoặc tính góc.
• Bấm máy chính xác, kết luận và kiểm tra điều kiện hợp lý.

4. Các bước chi tiết kèm ví dụ minh họa

a) Tính cạnh: Cho hai cạnh và góc kẹp

Ví dụ: Cho tam giác$ABC$, biết$AB = 7$cm,$AC = 5$cm,$ext{góc} BAC = 60^ext{o}$. Tính độ dài$BC$(gọi là $a$).

Công thức tổng quát:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

Thay số vào tính:

$a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\text{o}$

$a^2 = 25 + 49 - 70 \times 0.5 = 74 - 35 = 39$

$a = \sqrt{39} \approx 6.24\,\text{cm}$

• Bước 3: Kết luận:$BC \approx 6.24$cm.

b) Tính góc: Biết ba cạnh

Ví dụ: Tam giác$ABC$có $AB = 7$cm,$AC = 8$cm,$BC = 9$cm. Tính$ext{góc} BAC$.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

Tính số đo góc$A$:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{8^2 + 7^2 - 9^2}{2 \times 8 \times 7} = \frac{64 + 49 - 81}{112} = \frac{32}{112} = 0.2857$

$$A = \\arccos(0.2857) \approx 73.4^\text{o}$$

• Bước 3: Kết luận: $\text{góc} BAC \approx 73.4^\text{o}$ .

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức định lý cosin tổng quát cho tam giác$ABC$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

• Các công thức suy ra:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

• Tìm góc khi biết ba cạnh:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

• Kỹ thuật đổi đơn vị góc nếu cần (dùng ra-đian hoặc độ tuỳ đề bài và máy tính, chú ý không lẫn lộn).

6. Biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Đề bài cho hai góc một cạnh: Cần dùng định lý tổng các góc hoặc định lý sin kết hợp cosin để tính tiếp.
• Các cạnh không ký hiệu thông thường: Cần đọc kỹ đề và gán lại ký hiệu để áp dụng công thức chuẩn.
• Tam giác vuông: Không cần dùng định lý cosin mà dùng định lý Pytago và các tỉ số lượng giác.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Cho tam giác$ABC$có $AB = 10$cm,$AC = 6$cm,$ext{góc} BAC = 45^ext{o}$. Tính độ dài$BC$.

8. Bài tập tự luyện

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán dùng định lý cosin

• Phải xác định đúng cạnh, đúng góc đối diện khi áp dụng công thức.
• Chuyển đổi đơn vị đo góc phù hợp với máy tính (độ hoặc rađian).
• Rà soát kết quả: kiểm tra xem số đo góc có hợp lý (góc phải nhỏ hơn$180^\text{o}$trong tam giác) hoặc cạnh có nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.
• Nếu dữ kiện đặc biệt (tam giác vuông, đều, đặc biệt khác), cân nhắc dùng định lý khác nhanh hơn.
• Sử dụng máy tính cầm tay chính xác, đặc biệt khi tính$ext{arccos}$.

Kết luận

Thành thạo cách giải bài toán áp dụng định lý cosin giúp học sinh tự tin xử lý hầu hết các bài toán tam giác không vuông ở lớp 10 và các bài toán ứng dụng sau này. Hãy luyện tập thường xuyên, kiểm tra kỹ đơn vị đo, và nhớ vẽ hình rõ ràng để tránh nhầm lẫn.