Chiến lược giải quyết bài toán Giải tam giác và ứng dụng thực tế lớp 10

1. Giới thiệu về bài toán giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài toán giải tam giác là dạng bài toán quan trọng trong chương trình Toán 10, thuộc Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác. Bài toán này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu các công thức lượng giác mà còn có ứng dụng thực tiễn phong phú: đo đạc, xây dựng, hàng hải, hàng không, khảo sát thực địa,... Hiểu và thành thạo cách giải bài toán giải tam giác sẽ giúp bạn chinh phục nhiều bài toán thực tế cũng như phát triển kỹ năng hình học không gian.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán giải tam giác

Giải tam giác là tìm ra tất cả các cạnh và các góc của một tam giác khi biết trước một số yếu tố nhất định (3 yếu tố bất kỳ, trong đó có ít nhất 1 cạnh). Các dạng bài toán phổ biến:

• Biết 3 cạnh (SSS): Tìm các góc khi biết cả 3 cạnh.
• Biết 2 cạnh và 1 góc xen giữa (SAS): Tìm cạnh/góc còn lại.
• Biết 2 góc và 1 cạnh (AAS, ASA): Tìm các yếu tố còn lại.
• Biết 2 cạnh và 1 góc không xen giữa (SSA): Nhiều trường hợp có thể xảy ra.
• Ứng dụng thực tế: Các yếu tố của tam giác là số đo thực tế hoặc đại lượng cần tìm.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán giải tam giác

Để giải thành công dạng toán này, bạn nên tuân thủ các bước sau:

• Xác định rõ bài toán đã cho những dữ kiện gì (cạnh, góc?), thuộc dạng nào (SSS, SAS, ASA,...).
• Mỗi dạng có chiến lược, công thức riêng. Xác định xem áp dụng công thức nào là tối ưu.
• Tiến hành tính toán tuần tự các ẩn số (ưu tiên tính góc trước cạnh, hoặc ngược lại, tuỳ từng trường hợp).
• Kiểm tra điều kiện tồn tại của tam giác và giá trị hợp lý (góc phải <$180^ext{o}$, cạnh dương,...).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Dạng 1: Biết 3 cạnh (SSS)

Áp dụng định lý cosin để tìm lần lượt các góc.

Ví dụ: Cho tam giác$ABC$với$a=6$cm,$b=8$cm,$c=10$cm. Tìm các góc của tam giác.

Giải:

Tìm góc$A$:

Sử dụng định lý cosin:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \times 8 \times 10} = \frac{64 + 100 - 36}{160} = \frac{128}{160} = 0,8$

Làm tương tự với các góc còn lại:

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \times 6 \times 10} = \frac{36 + 100 - 64}{120} = \frac{72}{120} = 0,6$

$C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (36,87^\circ + 53,13^\circ) = 90^\circ$

Dạng 2: Biết 2 cạnh và góc xen giữa (SAS)

Áp dụng định lý cosin để tìm cạnh còn lại, sau đó dùng định lý sin để tìm góc còn lại.

Ví dụ: Tam giác$ABC$có $AB = 5$cm,$AC = 7$cm,$\angle BAC = 60^\circ$. Tìm$BC$, các góc còn lại.

Giải:

Gọi$a = BC$,$b=AC=7$cm,$c = AB = 5$cm.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \cos 60^\circ = 49 + 25 - 70 \times 0,5 = 74 - 35 = 39$

$\Rightarrow a = \sqrt{39} \approx 6,24$ cm

Dùng định lý sin:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{6,24}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\sin B}$

$\sin B = \frac{7 \cdot \sin 60^\circ}{6,24} \approx \frac{7 \cdot 0,866}{6,24} \approx 0,97$

$C = 180^\circ - (A+B) = 43,2^\circ$

Dạng 3: Biết 2 góc và 1 cạnh (AAS/ASA)

Áp dụng định lý sin để tìm các cạnh còn lại.

Ví dụ: Cho tam giác$ABC$có $AB = 6$cm,$\angle B = 45^\circ$,$\angle C = 65^\circ$. Tìm$AC, BC$và góc$A$.

Giải:

Góc$A = 180^\circ - 45^\circ - 65^\circ = 70^\circ$.

Gọi$c = AB = 6$cm.

Áp dụng định lý sin:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$\frac{6}{\sin 65^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ}$

$AC = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 4,97$ cm

$\frac{6}{\sin 65^\circ} = \frac{BC}{\sin 70^\circ}$

$BC = \frac{6 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 6,26$ cm

Dạng 4: Biết 2 cạnh và 1 góc không xen giữa (SSA, trường hợp đặc biệt)

Lưu ý: Có thể xảy ra 0, 1 hoặc 2 tam giác thỏa mãn. Học sinh cần xét điều kiện tồn tại tam giác khi áp dụng định lý sin.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Các công thức quen thuộc bạn cần thuộc lòng:

• Định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
• Định lý cosin:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$(và hoán vị cho các cạnh còn lại).
• Công thức tổng và hiệu góc lượng giác, sử dụng khi tính các giá trị sin, cos của kết quả trung gian.
• Kiểm tra điều kiện tồn tại tam giác: Tổng hai cạnh bất kỳ lớn hơn cạnh còn lại.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Trong thực tế, bài toán giải tam giác có thể xuất hiện dưới nhiều hình thức khác nhau:

• Dạng gián tiếp: Đề bài cho dữ kiện về độ dài đường cao, trung tuyến, đường phân giác hoặc diện tích tam giác,... cần chuyển về biết cạnh và góc khi giải.
• Dạng có yếu tố đặc biệt: Tam giác vuông, cân, đều,... có thể áp dụng công thức riêng rút gọn.
• Bài toán thực tế: Dựa vào sơ đồ, bản vẽ, số đo thực tiễn,... cần thể hiện dữ kiện bằng các yếu tố tam giác rồi giải.

Khi gặp các biến thể này, cần phân tích kỹ đề, đưa dữ kiện về dạng quen thuộc (góc, cạnh) trước khi giải.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Một cánh đồng hình tam giác$ABC$có $AB = 120$m,$AC = 150$m,$\angle BAC = 50^\circ$. Tính độ dài cạnh$BC$và diện tích cánh đồng.

Lời giải:

$a = BC, b = AC = 150$m,$c = AB = 120$m,$A = 50^\circ$.

Sử dụng định lý cosin:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 150^2 + 120^2 - 2 \times 150 \times 120 \times \cos 50^\circ$

$= 22500 + 14400 - 36000 \times 0,6428 \approx 36900 - 23140,8 = 13759,2$

$\Rightarrow a = \sqrt{13759,2} \approx 117,28$ m.

Tính diện tích tam giác:

$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 120 \cdot \sin 50^\circ \approx 75 \cdot 120 \cdot 0,7660 = 9000 \cdot 0,7660 \approx 6894 m^2$

Vậy, cạnh$BC$dài khoảng$117,28$m, diện tích khoảng$6894 \m^2$.

8. Bài tập thực hành cho học sinh tự giải

• Bài 1: Cho tam giác$ABC$có $AB = 10$cm,$AC = 13$cm,$BC = 15$cm. Tính các góc của tam giác.
• Bài 2: Tam giác$DEF$có $DE = 12$cm,$EF = 17$cm,$\angle DEF = 45^\circ$. Tính$DF$và các góc còn lại.
• Bài 3: Tính chiều cao$h$từ đỉnh$A$của tam giác$ABC$biết$AB = 16$cm,$AC = 12$cm,$\angle A = 70^\circ$.
• Bài 4: Ứng dụng thực tế: Một điểm$M$quan sát hai điểm$A$và $B$trên một con sông sao cho$MA = 80$m,$MB = 60$m, góc$AMB = 40^\circ$. Tính độ dài khoảng cách$AB$giữa hai điểm bờ sông.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra điều kiện tam giác trước khi giải: Tổng hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại.
• Kết quả các góc phải nhỏ hơn$180^\circ$, các cạnh dương và phù hợp thực tế.
• Khi dùng định lý sin, chú ý trường hợp có hai nghiệm (SSA).
• Kiểm tra số lượng nghiệm và loại nghiệm vô lý (ví dụ: $\sin > 1$hoặc$\sin < -1$ thì loại).
• Đối với bài toán thực tế, đảm bảo kết quả được diễn giải bằng đơn vị thực tế, có ý nghĩa vật lý.

Luyện tập giải tam giác bằng nhiều phương pháp, hiểu rõ bản chất các công thức sẽ phát triển tư duy hình học, rèn kỹ năng giải toán thực tế hiệu quả.