Blog

Lớp 10

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Hàm Bậc Hai Lớp 10: Hướng Dẫn Chi Tiết, Ví Dụ Minh Họa, Bài Tập Có Lời Giải

T
Tác giả
•
•9 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm bậc hai và tầm quan trọng

Hàm bậc hai (y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c,a≠0a \neq 0) là một trong những chủ đề nền tảng và quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán lớp 10. Hàm bậc hai không chỉ xuất hiện nhiều trong các bài thi mà còn là cơ sở để học tốt các phần toán học nâng cao sau này như đạo hàm, bài toán tối ưu và ứng dụng thực tiễn. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm bậc hai giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích, lập luận và tổng hợp kiến thức.

2. Đặc điểm của bài toán hàm bậc hai

Các bài toán về hàm bậc hai thường liên quan đến: nhận biết dạng chuẩn của hàm, xác định tham số aa,bb,cc, tìm đỉnh parabol, trục đối xứng, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, tương giao với trục hoành/trục tung, xét dấu biểu thức bậc hai và giải các dạng phương trình bậc hai liên quan.

  • Dạng tổng quát:y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
  • Dạng chuẩn (hoặc đỉnh):y=a(x−x0)2+y0y = a(x - x_0)^2 + y_0với(x0,y0)(x_0, y_0)là đỉnh
  • Hàm số có đồ thị là một parabol, trục đối xứng song songOyOy.
  • Nếua>0a > 0, parabol hướng lên; nếua<0a < 0, parabol hướng xuống.
  • Đỉnh parabol:x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a},y0=−Δ4ay_0 = -\frac{\Delta}{4a}vớiΔ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

    • 3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán hàm bậc hai

    Để giải bất kỳ bài toán về hàm bậc hai, bạn nên thực hiện theo các bước chiến lược sau:

  • Nhận dạng và phân tích đề bài: Xác định đề yêu cầu gì (tìm cực trị, giải phương trình, phân tích đồ thị...).
  • Chuyển về dạng thích hợp: Đưa hàm về dạng tổng quát hoặc đỉnh nếu cần thiết.
  • Áp dụng công thức/kiến thức phù hợp: Vận dụng các công thức tính đỉnh, trục đối xứng, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, xét dấu hoặc các bước giải phương trình bậc hai.
  • Kiểm tra và kết luận kết quả: Xem lại đáp số, kiểm tra điều kiện xác định và trả lời đầy đủ yêu cầu đề.

    • 4. Các bước giải quyết bài toán hàm bậc hai với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Xác định đỉnh, trục đối xứng, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số

    Cho hàm số y=2x2−4x+1y = 2x^2 - 4x + 1. Hãy xác định đỉnh, trục đối xứng, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

  • Bước 1: Xác địnha=2a = 2,b=−4b = -4,c=1c = 1.
  • Bước 2: Tính hoành độ đỉnh:x0=−b2a=−−44=1x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{4} = 1.
  • Bước 3: Tính tung độ đỉnh:
    y0=2×12−4×1+1=2−4+1=−1y_0 = 2 \times 1^2 - 4 \times 1 + 1 = 2 - 4 + 1 = -1.
  • Bước 4: Trục đối xứng là x=x0=1x = x_0 = 1.
  • Bước 5: Vì a=2>0a = 2 > 0, parabol hướng lên và giá trị nhỏ nhất là ymin=−1y_{min} = -1tạix=1x = 1.

    • Kết luận: ĐỉnhA(1;−1)A(1;-1), trục đối xứngx=1x = 1, giá trị nhỏ nhất−1-1khix=1x=1.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Đỉnh parabol:x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a},y0=f(x0)=−Δ4ay_0 = f(x_0) = -\frac{\Delta}{4a}, vớiΔ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.
  • Trục đối xứng:x=x0x = x_0
  • Giá trị lớn nhất/nhỏ nhất:
    - Nếua>0a > 0:ymin=y0y_{min} = y_0
    - Nếua<0a < 0:ymax=y0y_{max} = y_0
  • Nghiệm phương trình bậc hai: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0có nghiệmx=−b±Δ2ax = \frac{ -b \pm \sqrt{\Delta} }{2a}
  • Tính giá trị tại một điểm: Thayxxvào biểu thứcyy.

    • 6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

  • Dạng tìm m để hàm số có tính chất đặc biệt (nghiệm kép, vô nghiệm, giá trị cực trị thuộc đoạn xác định...): Áp dụng điều kiện củaΔ\Deltahoặc của giá trị cực trị.
  • Dạng xét dấu biểu thức bậc hai: Giải phương trình, phân tích bảng xét dấu.
  • Dạng bài toán về đồ thị: Nhận diện nhanhaa,bb,cctừ đồ thị, dùng tính chất đối xứng, cực trị đồ thị.
  • Dạng ứng dụng thực tế: Diễn dịch bài toán thực tế về dạng hàm bậc hai, tìm cực trị để tối ưu hóa.

    • 7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Ví dụ 2: Xét dấu hàm số bậc hai và ứng dụng giải bất phương trình

    Giải bất phương trình:x2−3x+2>0x^2 - 3x + 2 > 0

  • Bước 1: Xác địnha=1a=1,b=−3b=-3,c=2c=2. TínhΔ=(−3)2−4×1×2=9−8=1\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9-8=1
  • Bước 2: Tìm nghiệm: x1=3−12=1x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = 1, x2=3+12=2x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = 2
  • Bước 3: Vì a=1>0a=1>0, parabol nằm trên trục hoành ngoài khoảng giữa hai nghiệm. Do đó:x2−3x+2>0x^2 - 3x + 2 > 0khix<1x < 1hoặcx>2x > 2.

    • Đáp án:x<1x < 1hoặcx>2x > 2.

    Ví dụ 3: Ứng dụng vào bài toán thực tế

    Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 20m, hãy tìm cạnh x sao cho diện tích lớn nhất.

  • Gọi hai chiều là xxvà yy, ta có:2x+2y=20  ⟹  y=10−x2x + 2y = 20 \implies y = 10 - x.
  • Diện tíchS=x⋅y=x(10−x)=10x−x2S = x \cdot y = x(10 - x) = 10x - x^2.
  • HàmS(x)=−x2+10xS(x) = -x^2 + 10xlà hàm bậc hai,a=−1<0a = -1 < 0nênSS đạt giá trị lớn nhất tạix0=−b2a=−102⋅(−1)=5x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5.
  • Vậy diện tích lớn nhất khix=y=5x = y = 5.

    • 8. Bài tập thực hành tự luyện

  • Bài 1: Cho hàm số y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Hãy xác định đỉnh, trục đối xứng, giá trị lớn nhất của hàm số.
  • Bài 2: Giải bất phương trình:2x2−3x−2<02x^2 - 3x - 2 < 0.
  • Bài 3: Tìmmm để phương trìnhx2+(m−3)x+m=0x^2 + (m-3)x + m = 0có hai nghiệm cùng dấu.
  • Bài 4: Một bể bơi hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m, nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 2m thì diện tích bể không đổi. Tính kích thước ban đầu của bể bơi.
  • Bài 5: Vẽ đồ thị hàm số y=2x2−4x+1y = 2x^2 - 4x + 1, chỉ ra các yếu tố đặc trưng trên đồ thị (đỉnh, trục đối xứng, giao với các trục).

    • 9. Mẹo, lưu ý tránh sai lầm phổ biến khi giải hàm bậc hai

  • Luôn kiểm tra kỹ dấu của các hệ số, đặc biệt dấuaa, vì ảnh hưởng trực tiếp đến dạng parabol và giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
  • Khi tính đỉnh, chú ý thay đúng giá trị x0x_0vào hàm số để tínhy0y_0.
  • Trong bất phương trình, cần xác định chính xác khoảng xét dấu dựa vào nghiệm và dấuaa.
  • Không quên kiểm tra điều kiện xác định khi biến đổi các bài toán ứng dụng.
  • Làm nhiều bài tập, vẽ đồ thị để trực quan hóa tốt các tính chất của hàm.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".