1. Giới thiệu về bài toán hàm bậc nhất và tầm quan trọng

Bài toán về hàm bậc nhất là một phần không thể thiếu trong chương trình Toán lớp 10. Hàm bậc nhất đóng vai trò nền tảng trong đại số, liên quan chặt chẽ đến nhiều nội dung toán học thực tiễn, giúp học sinh phát triển tư duy giải phương trình, bất phương trình và các bài toán ứng dụng.

Việc nắm vững cách giải bài toán hàm bậc nhất không chỉ hữu ích khi học các lớp sau mà còn rất thực tế trong giải quyết các vấn đề đời sống như phân tích chi phí-lợi nhuận, dự đoán xu hướng, v.v. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ bản chất, nhận diện dạng toán, nắm được các chiến lược và kĩ năng then chốt để làm chủ dạng toán này.

2. Đặc điểm nhận diện bài toán hàm bậc nhất

• Hàm bậc nhất thường cho dưới dạng$f(x) = ax+b$với$a \neq 0$.
• Đồ thị là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
• Các dạng bài toán cơ bản liên quan:
  - Xét tính đồng biến, nghịch biến, xác định giá trị của hàm số tại một điểm;
  - Viết phương trình đường thẳng cùng điều kiện cho trước;
  - Xác định tham số $a, b$ để hàm số thỏa mãn điều kiện;
  - Tìm giao điểm hàm số với trục hoành, trục tung.
• Liên hệ chặt chẽ với các dạng toán phương trình, bất phương trình bậc nhất.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận cách giải bài toán hàm bậc nhất

1. Bước 1: Xác định yêu cầu đề bài và dạng toán (tính giá trị, xác định tham số, viết phương trình, v.v).
2. Bước 2: Phân tích hàm bậc nhất$f(x) = ax + b$– xác định hệ số $a$,$b$cụ thể.
3. Bước 3: Áp dụng công thức và kĩ thuật phù hợp với từng dạng câu hỏi (xem mục 5 phía dưới).
4. Bước 4: Trình bày giải chi tiết, kiểm tra kết quả và các điều kiện đặc biệt (nếu có).

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định hàm số qua hai điểm cho trước

Cho$f(x) = ax + b$ đi qua hai điểm$A(1;3)$và $B(2;5)$. Tìm$a$và $b$.

Giải:

• Thay toạ độ điểm$A(1;3)$vào hàm số:$f(1) = a \cdot 1 + b = 3 \rightarrow a + b = 3$.
• Thay toạ độ điểm$B(2;5)$vào hàm số:$f(2) = a \cdot 2 + b = 5 \rightarrow 2a + b = 5$.
• Giải hệ hai phương trình:
  \[
  \begin{cases}
  a + b = 3 \\
  2a + b = 5
  \\\end{cases}
  \]
  Lấy phương trình dưới trừ trên:$(2a + b) - (a + b) = 5 - 3 \Rightarrow a = 2$. Thay ngược lên$a + b = 3$\Rightarrow$2 + b = 3 \Rightarrow b = 1$.
• Kết luận: Hàm số cần tìm là $f(x) = 2x + 1$.

Ví dụ 2: Tìm giao điểm với trục hoành, trục tung

Cho$f(x) = 3x - 2$. Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục.

1. Giao điểm với trục hoành ($Oy$):$f(x) = 0$\[ 3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \]. Giao điểm là $M\left(\frac{2}{3}; 0\right)$.
2. Giao điểm với trục tung ($Ox$):$x = 0$\[ f(0) = 3 \times 0 - 2 = -2 \]. Giao điểm là $N(0; -2)$.

5. Những công thức, kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng quát:$f(x) = ax + b$, với$a \neq 0$.
• Tính đồng biến, nghịch biến:
  - Nếu$a > 0$: Hàm đồng biến
  - Nếu$a < 0$: Hàm nghịch biến
• Tìm giao điểm với trục hoành:$f(x) = 0$\implies$x = -\frac{b}{a}$
• Tìm giao điểm với trục tung:$x=0 \implies f(0) = b$
• Công thức tính khoảng giá trị:$f(x_0) = a x_0 + b$
• Cách xác định$a, b$khi biết hai điểm: Dùng hệ phương trình
  \[
  \begin{cases}
  f(x_1) = y_1 \\
  f(x_2) = y_2
  \\\end{cases}
  \] để giải$a$,$b$.

6. Những biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Hàm bậc nhất có tham số: Phải xác định tham số $a$hoặc$b$ để hàm thỏa mãn điều kiện (đồng biến, qua một điểm, song song/trùng với đường thẳng khác,...).
• Các bài toán hình học liên quan: Tìm phương trình đường thẳng qua một điểm và song song/trùng với đường thẳng khác.
• Các bài toán ứng dụng: Mô hình hóa vấn đề thực tiễn dưới dạng hàm bậc nhất (chi phí, lợi nhuận, vận tốc...).
• Bất phương trình liên quan đến hàm bậc nhất: Tìm$x$để$f(x) > m$hoặc$f(x) < n$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài toán: Cho hàm số $f(x) = -2x + 7$. Hãy:
- a) Tính$f(3)$và $f(-2)$
- b) Tìm giao điểm với trục hoành và trục tung
- c) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

1. a) Tính$f(3)$và $f(-2)$:
   
   \[ \begin{align*}
   f(3) & = -2 \times 3 + 7 = -6 + 7 = 1 \\
   f(-2) & = -2 \times (-2) + 7 = 4 + 7 = 11
   \\\end{align*} \]
   Vậy$f(3) = 1$,$f(-2) = 11$.
2. b) Giao điểm với trục hoành:$f(x) = 0$\implies$-2x + 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2}$
   Giao điểm là $A\left(\frac{7}{2};0\right)$.
   
   Giao điểm với trục tung:$x=0$.$f(0) = -2 \times 0 + 7 = 7$
   Giao điểm là $B(0;7)$.
3. c) Tính đồng biến, nghịch biến:
   Vì hệ số $a = -2 < 0$nên hàm số là hàm nghịch biến trên$\mathbb{R}$.

8. Bài tập thực hành (không kèm lời giải)

• Viết công thức hàm bậc nhất đi qua hai điểm$M(-1;2)$,$N(3;10)$.
• Cho hàm$f(x) = a x + 4$, biết$f(2) = 0$. Tìm$a$.
• Xác định phương trình đường thẳng song song với$y=5x-3$và đi qua điểm$P(1;4)$.
• Cho hàm$f(x) = 4 - 0.5x$. Xác định$x$để$f(x) > 0$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Cẩn thận dấu (âm/dương) của hằng số khi thay giá trị vào hàm.
• Luôn kiểm tra có đúng$a \neq 0$ để không nhầm với hàm hằng hoặc hàm bậc hai.
• Nhớ rằng đường thẳng chỉ song song nếu hệ số góc (hệ số $a$) giống nhau, và trùng nếu cả $a$và $b$bằng nhau.
• Phân biệt giữa giao với trục hoành (tìm$x$để$f(x)=0$) và giao với trục tung (lấy$x=0$tính$f(0)$).
• Sau khi giải xong, hãy kiểm tra lại đáp số bằng cách thay ngược lại vào điều kiện đề bài.