1. Giới thiệu về bài toán hàm bậc nhất và ý nghĩa của nó

Bài toán về hàm bậc nhất là một trong những nội dung trọng tâm trong chương trình Toán lớp 10 và các bậc học phổ thông. Hàm bậc nhất có ứng dụng thực tiễn rộng rãi, từ mô tả các quá trình, hiện tượng tuyến tính trong đời sống, vật lý đến các bài toán kinh tế, kỹ thuật. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm bậc nhất giúp học sinh xây dựng nền tảng kiến thức toán học vững chắc, đồng thời phát triển tư duy logic và khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.

2. Đặc điểm của bài toán hàm bậc nhất

- Hàm bậc nhất có dạng tổng quát:$y = ax + b$với$a \neq 0$; trong đó $a$là hệ số góc,$b$là tung độ gốc.
- Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.
- Dấu của hệ số $a$quyết định sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số:
-$a > 0$: Hàm đồng biến
-$a < 0$: Hàm nghịch biến
- Bài toán thường gặp gồm: xác định hàm, vẽ đồ thị, tìm điểm cắt trục, biện luận nghiệm, giải phương trình chứa hàm bậc nhất, ứng dụng thực tế…

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán hàm bậc nhất

Để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm bậc nhất, có thể áp dụng chiến lược sau:

• 1. Nhận dạng: Xác định bài toán thuộc loại gì (xác định hàm, vẽ đồ thị, giải phương trình, ứng dụng thực tế…).
• 2. Phân tích đề: Rút ra dữ kiện đã cho, các điều kiện ràng buộc và yêu cầu của đề bài.
• 3. Chọn phương pháp phù hợp: Vận dụng công thức, chuyển đổi biến, sử dụng đồ thị, lập bảng xét dấu…
• 4. Trình bày lời giải logic, chặt chẽ và đầy đủ.

4. Các bước giải quyết chi tiết kèm ví dụ minh họa

Cùng phân tích từng loại bài toán theo ví dụ cụ thể để thấy rõ phương pháp giải.

a) Xác định hàm số bậc nhất từ dữ kiện đề bài

Ví dụ 1: Một hàm số bậc nhất$y = ax + b$ đi qua hai điểm$A(1;2)$và $B(3;6)$. Hãy xác định hàm số này.

• Bước 1: Thay tọa độ $A$vào phương trình:$2 = a.1 + b$(1)
• Bước 2: Thay tọa độ $B$vào phương trình:$6 = a.3 + b$(2)

Trừ (2) cho (1):

. Thay lại vào (1):$2 = 2 + b \Rightarrow b = 0$. Vậy hàm số là $y = 2x$.

b) Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số $y = -3x + 6$.

• Bước 1: Xác định điểm cắt trục hoành ($y=0$):$0 = -3x + 6 \Rightarrow x = 2$. Điểm$A(2;0)$.
• Bước 2: Xác định điểm cắt trục tung ($x=0$):$y = -3.0 + 6 = 6$. Điểm$B(0;6)$.
• Bước 3: Nối hai điểm$A,B$ để được đường thẳng. Có thể chọn thêm 1 điểm bất kỳ để kiểm tra tính chính xác.

c) Giải phương trình chứa hàm bậc nhất

Ví dụ 3: Giải phương trình$2x - 5 = 7$.

• Bước 1: Chuyển hạng tử -5 sang vế phải:$2x = 7 + 5 = 12$
• Bước 2: Tìm$x$:$x = \frac{12}{2} = 6$

Đáp số:$x = 6$.

d) Ứng dụng thực tế

Ví dụ 4: Giá thuê xe 1 ngày là 200.000 đồng, mỗi km đi vượt quá 50km bị tính thêm 4.000 đồng/km. Hãy lập hàm$y$biểu thị tổng tiền (nghìn đồng) khi đi$x$km ($x > 50$).

• Bước 1: Trả lời cho$x > 50$.
  - Tiền vượt:$(x-50)\times 4$nghìn đồng.
• Bước 2: Tổng tiền:$y = 200 + 4(x-50) = 4x + 200 - 200 = 4x$(Sai!). Kiểm tra lại:$y = 200 + 4(x-50)$
• Bước 3: Khai triển:$y = 4x + 200 - 200 = 4x$, cần sửa lại. (Có lỗi! Đúng phải là:$y = 200 + 4(x-50) = 4x + 200 - 200 = 4x$; giữ nguyên công thức không giản lược quá sớm).

Vậy$y = 4x + 0$của phần tiền cộng thêm, tổng tiền đầy đủ là $y = 4x$ đối với$x > 50$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• - Dạng hàm bậc nhất tổng quát:$y = ax + b$,$a \neq 0$
• - Điểm cắt trục tung:$x=0 \Rightarrow y=b$.
• - Điểm cắt trục hoành:$y=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}$
• - Tính đồng biến, nghịch biến dựa vào dấu của$a$.
• - Xác định hàm: Cho 2 điểm$(x_1;y_1),(x_2;y_2)$, giải hệ để tìm$a,b$:
  
  $$\begin{cases}<br>y_1 = ax_1 + b\\y_2 = ax_2 + b<br>\\\end{cases}$$

6. Các biến thể của bài toán & điều chỉnh chiến lược

• - Xác định hệ số khi hàm biết đi qua 2 điểm trùng nhau: Sẽ không đủ dữ kiện, cần thêm điều kiện khác.
• - Hệ số $a = 0$: Không phải hàm bậc nhất (hàm hằng), bỏ qua.
• - Giải phương trình chứa nhiều hàm bậc nhất hoặc xuất hiện ẩn ở mẫu: Quy đồng, chuyển vế, xét điều kiện xác định.
• - Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc nhất trên một đoạn: Tính giá trị tại hai đầu đoạn, so sánh.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Xác định hàm số bậc nhất biết đi qua$A(-2;5)$và $B(2;-3)$

Giả sử $y = ax + b$. Thay$A(-2;5)$vào:
$5 = a \times (-2) + b$(1)
Thay$B(2;-3)$vào:
$-3 = a\times 2 + b$(2)
Giải hệ:

• (2) - (1):$(-3) - 5 = 2a + b - (-2a + b) = 4a$, nên$-8=4a \Rightarrow a=-2$
• Thay vào (1):$5 = (-2) \times (-2) + b = 4 + b \Rightarrow b = 5-4=1$

Hàm số cần tìm là $y = -2x + 1$.

Bài 2: Vẽ đồ thị $y=1.5x-3$

• - Tìm giao điểm$O$với$Ox$:$y=0 \Rightarrow x=2$($A(2,0)$)
• - Giao$Oy$:$x=0 \Rightarrow y=-3$($B(0,-3)$)
• - Vẽ đường thẳng đi qua$A,B$.

Bài 3: Giải phương trình$5x+1=21$

$5x+1=21 \rightarrow 5x=20 \rightarrow x=4$

8. Bài tập thực hành tự luyện

• 1. Cho hàm số $y = ax + b$ đi qua$A(0;3)$và $B(2;7)$. Xác định hàm số.
• 2. Vẽ đồ thị hàm số $y = -x+4$.
• 3. Giải phương trình$-3x + 2 = 11$.
• 4. Một siêu thị bán hàng với giá cơ bản là 20.000 đồng/cái, mua trên 10 cái giảm còn 18.000 đồng/cái. Viết hàm chi phí $y$theo số lượng$x$và xác định giá trị $y$khi mua 15 cái.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• - Luôn kiểm tra kỹ dấu và thay đúng giá trị điểm vào hàm khi xác định$a, b$.
• - Khi vẽ đồ thị, cần xác định ít nhất hai điểm cắt trục để đảm bảo chính xác.
• - Cẩn thận khi giải phương trình, đừng quên kiểm tra ẩn có thuộc điều kiện xác định (nếu xuất hiện mẫu).
• - Lưu ý: Không gọi hàm$y=ax+b$là bậc nhất nếu$a=0$(trở thành hàm hằng).
• - Biết vận dụng linh hoạt công thức, chuyển đổi biến, vẽ đồ thị để đối chiếu kết quả.

Kết luận

Nắm vững cách giải bài toán hàm bậc nhất giúp học sinh xây dựng nền tảng toán học quan trọng cho các lớp tiếp theo và ứng dụng thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên các ví dụ và bài tập tự luyện trong bài để thành thạo dạng toán này.