Blog

Chiến lược giải quyết bài toán về Hàm đồng biến lớp 10: Hướng dẫn chi tiết kèm ví dụ minh họa

T
Tác giả
8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm đồng biến và tầm quan trọng

Bài toán về hàm đồng biến là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, đặc biệt trong chuyên đề hàm số. Việc hiểu và giải quyết tốt loại bài toán này sẽ giúp học sinh không chỉ củng cố kiến thức về hàm số mà còn nâng cao khả năng suy luận logic, phục vụ cho các bài toán khó hơn ở các lớp sau.

Việc xác định tính đồng biến (hoặc nghịch biến) của một hàm số có ứng dụng thực tiễn rộng rãi như: tìm khoảng giá trị tăng, giảm của một quá trình, tối ưu hóa và mô hình hóa toán học.

2. Đặc điểm của bài toán xác định hàm đồng biến

  • Thường yêu cầu xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên tập xác định.
  • Đề bài có thể yêu cầu chứng minh hàm đồng biến hoặc tìm điều kiện để hàm số đồng biến.
  • Có thể áp dụng cho hàm bậc nhất, bậc hai, phân thức, căn thức, hàm chứa tham số.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán đồng biến

  1. Xác định tập xác định của hàm số.
  2. Tính đạo hàm (nếu có thể) hoặc sử dụng tính chất về hệ số, biểu thức.
  3. Giải bất phương trình liên quan đến đạo hàm (hoặc vi phân nếu không có đạo hàm).
  4. Kết hợp điều kiện tập xác định với nghiệm của bất phương trình để tìm khoảng đồng biến.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa 1: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số f(x)=2x24x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1.

  1. Bước 1: Xác định tập xác định
    Hàm số f(x)f(x)là đa thức nên xác định với mọixRx \in \mathbb{R}.
  2. Bước 2: Tính đạo hàmf(x)f'(x)

    f(x)=ddx(2x24x+1)=4x4f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 4x + 1) = 4x - 4
  3. Bước 3: Giảif(x)>0f'(x) > 0 để tìm khoảng đồng biến
    4x4>0x>14x - 4 > 0 \Rightarrow x > 1

    Hàm số f(x)f(x) đồng biến trên khoảng(1;+)(1; +\infty).
  4. Bước 4: Kết luận
    - Hàm số đồng biến trên(1;+)(1; +\infty).
    - Hàm số nghịch biến trên(;1)(-\infty; 1).

Ví dụ minh họa 2: Tìmmmđể hàm sốf(x)=(m2)x+3f(x) = (m - 2)x + 3 đồng biến trên

mathbbR\\mathbb{R}
.

  1. Bước 1:f(x)f(x)là hàm bậc nhất, xác định trênR\mathbb{R}.
  2. f(x)=m2f'(x) = m - 2. Để hàm đồng biến, cầnf(x)>0m2>0m>2f'(x) > 0 \Rightarrow m - 2 > 0 \Rightarrow m > 2.
  3. Vậym>2m > 2thì hàm đồng biến trênR\mathbb{R}.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Hàm số f(x)f(x) đồng biến trên khoảng(a;b)(a; b)khi với mọix1<x2x_1 < x_2thuộc(a;b)(a; b)suy raf(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2).
  • Đạo hàm cấp 1: Nếuf(x)>0f'(x) > 0trên(a;b)(a; b)thì f(x)f(x) đồng biến trên(a;b)(a; b).
  • Đối với hàm bậc nhấtf(x)=ax+bf(x) = ax + b, nếua>0a > 0thì hàm đồng biến trênR\mathbb{R}.
  • Đối với hàm bậc haif(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, đạo hàmf(x)=2ax+bf'(x) = 2a x + b, giảif(x)>0f'(x) > 0tìm được khoảng đồng biến.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

  • Hàm chứa căn, phân thức: Xác định kỹ tập xác định trước khi xét đồng biến, chú ý loại nghiệm không thỏa mãn.
  • Hàm chứa tham số: Có thể phải giải bất phương trình chứa tham số, trường hợp đặc biệt cần xem xét kỹ.
  • Nhiều khoảng xác định: Chia nhỏ tập xác định theo điều kiện rồi giải trên từng khoảng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập mẫu 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=x2+4x2y = -x^2 + 4x - 2.

  1. Bước 1: Hàm xác định với mọixRx \in \mathbb{R}.
  2. y=ddx(x2+4x2)=2x+4y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 4x - 2) = -2x + 4.
  3. Giảiy>02x+4>0x<2y' > 0 \Leftrightarrow -2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x < 2.
  4. Kết luận:yy đồng biến trên(;2)(-\infty; 2)và nghịch biến trên(2;+)(2; +\infty).

Bài tập mẫu 2: Tìm điều kiện củaaađể hàm sốg(x)=ax2+(2a1)x+3g(x) = a x^2 + (2a-1)x + 3 đồng biến trênR\mathbb{R}.

  1. g(x)=2ax+(2a1)g'(x) = 2ax + (2a-1). Để hàm đồng biến trênR\mathbb{R}thì g(x)>0g'(x) > 0với mọixRx \in \mathbb{R}.
  2. Xétg(x)>0xRg'(x) > 0 \forall x \in \mathbb{R}:
    - Nếua=0a = 0,g(x)=2a1=1<0g'(x) = 2a - 1 = -1 < 0không thỏa mãn.
    - Nếua0a \neq 0, dog(x)=2ax+2a1g'(x) = 2a x + 2a - 1là hàm bậc nhất, hệ số 2a2akhác 0.
    - Trường hợpa>0a > 0:
    2ax+2a1>0xR2a x + 2a - 1 > 0 \forall x \in \mathbb{R}là vô lý vì xxthay đổi.
    Tương tự a<0a < 0cũng vậy.
    => Không tồn tạiaanào thoả g(x)>0g'(x) > 0với mọixx.

    Tuy nhiên, giả sử hàm đồng biến trên một khoảng cụ thể, ta sẽ giảig(x)>0g'(x) > 0trên khoảng cần xét.

8. Bài tập thực hành tự luyện

  • Bài 1: Tìm tập xác định, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số h(x)=3x26x+2h(x) = 3x^2 - 6x + 2.
  • Bài 2: Tìmkkđể hàm sốf(x)=(k+1)x5f(x) = (k+1)x - 5nghịch biến trênR\mathbb{R}.
  • Bài 3: Tìm điều kiện củammđể hàm sốy=mx2+2(m1)x+3y = m x^2 + 2(m-1)x + 3 đồng biến tạix=1x=1.
  • Bài 4: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y=1xy = \frac{1}{x}trên từng khoảng xác định.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn xác định tập xác định trước khi làm các bước tiếp theo.
  • Chỉ kết luận hàm đồng biến trên phần giao với tập xác định; chú ý loại các giá trị không thuộc tập xác định khi cần.
  • Lưu ý đạo hàm đúng, đặc biệt với hàm phức tạp (căn thức, phân thức).
  • Bài toán chứa tham số nên kiểm tra trường hợp đặc biệt (hàm không bậc nhất, tham số làm đạo hàm bằng 0).
  • Kiểm tra lại điều kiện kết hợp để tránh sai lầm khi xác định khoảng đồng biến.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".