1. Giới thiệu về dạng bài toán

Hàm tan là một trong những hàm lượng giác cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong chương trình lớp 10. Các bài toán về hàm tan có đặc điểm là yêu cầu tính giá trị, giải phương trình hoặc khảo sát tính chất của hàm số tan dựa trên góc cho trước.

Bài toán hàm tan xuất hiện đều đặn trong đề kiểm tra, đề kiểm tra định kỳ, đề thi học kỳ cũng như các đề luyện thi vào 10. Việc thành thạo cách giải giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, tự tin đạt điểm cao.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với 41.262+ bài tập về cách giải Hàm tan để nâng cao kỹ năng.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Đề bài thường nhắc đến từ khóa như “tính giá trị của$\tan \alpha$”, “giải phương trình lượng giác chứa tan”, “Hàm số $y = \tan x$”, …
• Đặc trưng: xuất hiện công thức tan, biểu thức dạng$\tan x$,$\tan(\theta)$, hoặc yêu cầu đổi góc về dạng tan.
• Dễ phân biệt với các bài sin, cos vì thường liên quan đến tính chia $\frac{\sin x}{\cos x}$ hoặc các dạng vô nghiệm do mẫu bằng 0.

2.2 Kiến thức cần thiết

• Định nghĩa $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
• Công thức cộng, trừ góc:$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$
• Hiểu điều kiện xác định của tan:$\cos x <br> \neq 0$
• Kỹ năng chuyển đổi giữa radian và độ, sử dụng bảng giá trị lượng giác cơ bản.
• Mối liên hệ giữa tan và các hàm lượng giác khác.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Đọc thật kỹ yêu cầu đề, xác định rõ bài toán tính giá trị, giải phương trình hay chứng minh.
• Gạch chân dữ kiện cho sẵn: số đo góc, giá trị các hàm lượng giác, điều kiện xác định của ẩn số.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Chọn công thức hoặc phương pháp phù hợp: Định nghĩa, bảng giá trị, công thức cộng/trừ góc,…
• Sắp xếp thứ tự các bước giải rõ ràng và có logic.
• Dự đoán kết quả (âm/dương, giá trị lớn/nhỏ) để so sánh và kiểm tra độ hợp lý khi giải.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Giải từng bước, trình bày rõ ràng, không bỏ qua trung gian cần thiết.
• Nhớ kiểm tra điều kiện xác định của góc hoặc biến.
• Sau khi kết thúc, thử thay ngược lại kiểm tra đáp án.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Cách tiếp cận truyền thống là sử dụng định nghĩa $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, phối hợp với bảng giá trị lượng giác cơ bản và tính chất của tam giác vuông.

• Ưu điểm: Dễ hiểu, áp dụng cho nhiều trường hợp cơ bản.
• Hạn chế: Đôi khi kéo dài thời gian nếu góc lớn hoặc không phải số đặc biệt.
• Nên sử dụng khi đề bài cho sẵn$\tan$hay các giá trị lượng giác đặc trưng ($0^\circ$,$30^\circ$,$45^\circ$,$60^\circ$,$90^\circ$...)

4.2 Phương pháp nâng cao

• Sử dụng công thức cộng/trừ góc:$\tan(A \pm B)$
• Biểu diễn tan qua biến phụ (phương pháp ẩn phụ).
• Tận dụng các mẹo nhớ: Tan các góc đặc biệt $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$lần lượt là $\frac{1}{\sqrt{3}}$, $1$, $\sqrt{3}$.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Ví dụ 1: Tính giá trị $\tan 45^\circ$.

Lời giải:

$\tan 45^\circ = 1$

Giải thích: Dựa vào bảng giá trị lượng giác đặc biệt hoặc áp dụng định nghĩa tam giác vuông cân ($góc 45^\circ$trong tam giác vuông cân, cạnh đối và kề bằng nhau).

5.2 Bài tập nâng cao

Ví dụ 2: Tính$\tan(75^\circ)$.

Lời giải:

$\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ)$

Áp dụng công thức:

$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

Với $A=45^\circ$, $B=30^\circ$nên$\tan 45^\circ=1$, $\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1.\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}$

Rút gọn:

$=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

Hoặc nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}+1$ để khử căn ở mẫu:

$=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} =\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

Vậy $\tan75^\circ = 2 + \sqrt{3}$

So sánh khi sử dụng công thức cộng góc giúp bài toán trở nên dễ dàng, tránh được việc phải đoán giá trị.

6. Các biến thể thường gặp

• Tính tan của các góc không đặc biệt (như $15^\circ$,$75^\circ$,$105^\circ$,...)
• Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa tan
• Giải phương trình chứa tan hoặc kết hợp với sin, cos

Với từng biến thể, hãy áp dụng chiến lược phù hợp, đặc biệt chú trọng điều kiện xác định tan luôn xuất hiện khi giải phương trình.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Nhầm giữa tan với sin, cos
• Quên điều kiện xác định$\cos x <br> \neq 0$
• Áp dụng sai công thức cộng/trừ góc

Cần học thuộc và sử dụng đúng công thức, kiểm tra điều kiện xác định trước khi kết luận.

7.2 Lỗi về tính toán

• Sai khi rút gọn, tính nhẩm nhầm lẫn
• Nhầm lẫn giữa các phép toán cộng/trừ/multiply

Luôn kiểm tra lại kết quả cuối cùng bằng cách thay ngược lại, và nhẩm kiểm tra giá trị.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập 41.262+ bài tập cách giải Hàm tan miễn phí trên hệ thống, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay. Theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng giải toán cần thiết.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• Lên lịch luyện tập: Mỗi tuần nên làm 8 - 12 bài tập về hàm tan.
• Đặt mục tiêu: Đầu tuần kiểm tra 2-3 dạng bài cơ bản, giữa tuần làm nâng cao, cuối tuần tổng hợp, tự đánh giá lại kết quả.
• Theo dõi điểm số và các lỗi hay gặp để rút kinh nghiệm, củng cố kỹ năng.