1. Giới thiệu về bài toán hàm tuyến tính hai biến

Hàm tuyến tính hai biến là kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 và đóng vai trò cơ sở để học tiếp các chủ đề phức tạp hơn như hệ phương trình, bất đẳng thức và cả ứng dụng thực tiễn. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm tuyến tính hai biến giúp học sinh tư duy hệ thống, phát triển kỹ năng toán học cũng như giải quyết hiệu quả các bài tập nâng cao sau này.

2. Đặc điểm của hàm tuyến tính hai biến

Một hàm tuyến tính hai biến có dạng tổng quát:

$f(x, y) = ax + by + c$

với$a, b, c$là các hằng số,$a^2 + b^2 > 0$,$x$và $y$là các biến. Hàm này thể hiện mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến số, biểu diễn dưới dạng mặt phẳng trong không gian ba chiều. Đường đồng mức của hàm là các đường thẳng.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán hàm tuyến tính hai biến

• Hiểu yêu cầu đề bài: Xác định bài toán yêu cầu gì – biểu diễn hàm, tìm hệ số, kiểm tra tính đồng biến/nghịch biến, v.v.
• Phân tích đề: Đơn vị, tham số, điều kiện xác định của bài toán.
• Xác định mô hình toán học: Viết đúng biểu thức hàm tuyến tính và xác định giá trị các tham số nếu cần.
• Áp dụng các bước giải cụ thể tương ứng từng dạng bài.
• Kiểm tra và kết luận kết quả.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định biểu thức hàm

- Đề bài thường cho biết các điểm, giá trị cụ thể hoặc điều kiện để tìm ra$a$,$b$,$c$.

Ví dụ 1

Cho biết hàm$f(x, y) = ax + by + c$thoả mãn$f(1, 2) = 5$và $f(0, -1) = 1$,$f(2, 1) = 4$. Tìm$a, b, c$.

Giải:

Ta có:

$f(1,2) = a \cdot 1 + b \cdot 2 + c = 5$

$f(0,-1) = a \cdot 0 + b \cdot (-1) + c = 1$

$f(2,1) = a \cdot 2 + b \cdot 1 + c = 4$

Giải hệ phương trình 3 ẩn này để tìm$a, b, c$:

$a + 2b + c = 5$
$-b + c = 1$
$2a + b + c = 4$

- Từ phương trình 2:$-b + c = 1 \implies c = 1 + b$

- Thay vào phương trình 1:$a + 2b + (1 + b) = 5 \implies a + 3b = 4 \implies a = 4 - 3b$

- Thay$a, c$vào phương trình 3:$2(4 - 3b) + b + (1 + b) = 4$

$8 - 6b + b + 1 + b = 4 \implies 8 - 4b + 1 = 4 \implies 9 - 4b = 4 \implies 4b = 5 \implies b = \frac{5}{4}$

-$a = 4 - 3b = 4 - 3 \cdot \frac{5}{4} = 4 - \frac{15}{4} = \frac{1}{4}$

-$c = 1 + b = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$

Vậy$a = \frac{1}{4}$,$b = \frac{5}{4}$,$c = \frac{9}{4}$.

Bước 2: Trả lời các câu hỏi khác của bài toán

- Tìm giá trị cực trị (nếu có): Với hàm tuyến tính hai biến, không có cực trị trên toàn bộ mặt phẳng, nhưng nếu giới hạn trên miền nhất định, cần xét giá trị tại biên.

- Nghiên cứu sự đồng biến, nghịch biến: Quan sát dấu của$a,b$tham số trong hàm.

- Tìm tập giá trị, biểu diễn hình học: Vẽ mặt phẳng hoặc đường đồng mức.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng quát:$f(x, y) = ax + by + c$
• Giải hệ phương trình để tìm tham số $a, b, c$
• Xét sự đồng biến/nghịch biến theo từng biến bằng cách cố định biến còn lại
• Biến đổi, rút gọn hệ số khi giải các bài tập phức tạp

6. Các biến thể của bài toán & cách điều chỉnh chiến lược

- Chỉ cho 2 điều kiện, yêu cầu tìm thêm ràng buộc. Khi xác định không đủ dữ kiện, học sinh cần kiểm tra xem các tham số còn tự do hay không, hoặc đôi khi có thể thêm giả thiết.

- Xét bài toán tối ưu hóa trên miền (tam giác, tứ giác,...): lọc giá trị qua các điểm biên, áp dụng kiến thức về đường đồng mức.

- Kết hợp với ràng buộc khác, ví dụ hệ phương trình hoặc điều kiện thực tế.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu

Cho hàm số $f(x, y) = 3x - 2y + 7$. Tính các giá trị sau:

• $f(2, -1)$
• Tìm tập giá trị của$f(x,1)$khi$x \in \mathbb{R}$
• Với giá trị nào của$x, y$để$f(x,y) = 0$

Giải:

1. $f(2,-1) = 3 \times 2 -2 \times (-1) + 7 = 6 + 2 + 7 = 15$
2. $f(x,1) = 3x - 2 \times 1 + 7 = 3x + 5$. Tập giá trị là $\mathbb{R}$vì $x \in \mathbb{R}$.
3. Giải phương trình$3x - 2y + 7 = 0 \rightarrow 3x - 2y = -7 \rightarrow y = \frac{3x+7}{2}$

8. Bài tập tự luyện

1. Cho hàm$f(x, y) = 4x - y + c$. Biết$f(0, 2) = 5$,$f(1, 0) = 3$. Hãy tìm$c$và tính$f(2, -1)$.
2. Tìm tập giá trị của hàm$f(x, y) = 2x + 5y - 8$khi$x, y \in \mathbb{R}$.
3. Với$a, b, c$là các tham số (không đồng thời bằng 0), các hàm$f(x,y) = ax + by + c$ đồng biến, nghịch biến theo$x$khi nào?

9. Mẹo và lưu ý khi giải hàm tuyến tính hai biến

• Luôn phân tích kỹ đề bài, xác định dữ kiện, đảm bảo đủ điều kiện để xác định hàm.
• Đừng quên kiểm tra nghiệm sau khi tìm tham số: Thay lại vào các phương trình xem có thoả điều kiện không.
• Nếu đề cho thiếu điều kiện (ít hơn số tham số), biểu diễn nghiệm tổng quát theo tham số còn lại.
• Chú ý dấu của tham số để xác định chiều biến thiên (đồng biến nếu hệ số dương, nghịch biến nếu hệ số âm).
• Với các bài toán thực tế, chú ý ý nghĩa các biến, đơn vị đo.