1. Giới thiệu về bài toán khai triển nhị thức Newton

Bài toán khai triển nhị thức Newton là một trong những nội dung quan trọng và nền tảng trong chương trình Đại số lớp 10. Nó liên quan đến việc phân tích và viết dạng khai triển của biểu thức$(a + b)^n$với$n$là số nguyên không âm. Kỹ năng giải quyết bài toán này giúp học sinh phát triển tư duy tổ hợp, kiến thức đại số và ứng dụng vào nhiều dạng toán khác nhau.

2. Đặc điểm của bài toán khai triển nhị thức Newton

• Bao gồm việc sử dụng công thức tổng quát để khai triển$(a + b)^n$.
• Liên quan đến hệ số nhị thức (hệ số C hay còn gọi là tổ hợp, kí hiệu$C_n^k$hoặc$\binom{n}{k}$).
• Cần xác định rõ từng hạng tử, hệ số và chỉ số mũ tương ứng.
• Có thể áp dụng cho nhiều biến thể như tìm hệ số của một hạng tử, tổng các hệ số, giá trị biểu thức,...

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

1. Hiểu và vận dụng công thức khai triển nhị thức Newton.
2. Nhận diện nhanh hệ số, mũ và vị trí của các hạng tử trong khai triển.
3. Phân tích đề bài để xác định yêu cầu: khai triển đầy đủ, tìm hệ số, tìm tổng, hoặc tính giá trị cụ thể.
4. Sử dụng các kỹ thuật suy luận tổ hợp, công thức tổ hợp và các mẹo tính nhanh.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Nhớ công thức khai triển nhị thức Newton:

Công thức tổng quát:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Trong đó:

• $\binom{n}{k}$là số tổ hợp chập$k$của$n$phần tử, hay còn gọi là hệ số nhị thức.
• $a^{n-k}$là lũy thừa của$a$ở hạng tử thứ$k$.
• $b^k$là lũy thừa của$b$ở hạng tử thứ$k$.

Bước 2: Xác định bài toán yêu cầu (khai triển tổng quát hay tính một hệ số cụ thể, v.v.)

Bước 3: Áp dụng đúng công thức, thay thế giá trị $a, b, n$và tính toán hệ số.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Khai triển$(2x - y)^3$

Áp dụng công thức:

$(2x - y)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} (2x)^{3-k} (-y)^k$

Tính từng hạng tử từ $k = 0$ đến$k = 3$:

• Khi$k = 0$:
• $\binom{3}{0}(2x)^3(-y)^0=1 \cdot 8x^3 \cdot 1=8x^3$
• Khi$k = 1$:
• $\binom{3}{1}(2x)^2(-y)^1 = 3 \cdot 4x^2 \cdot (-y)=12x^2(-y) = -12x^2y$
• Khi$k = 2$:
• $\binom{3}{2}(2x)^1(-y)^2=3 \cdot 2x \cdot y^2 = 6x y^2$
• Khi$k = 3$:
• $\binom{3}{3}(2x)^0(-y)^3=1 \cdot 1 \cdot (-y)^3 = -y^3$

Vậy khai triển là:

$(2x - y)^3 = 8x^3 - 12x^2y + 6x y^2 - y^3$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng quát: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$
• Tính số tổ hợp:$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Tính tổng các hệ số trong khai triển: Thay$a = 1, b = 1$, ta có $(1 + 1)^n = 2^n$
• Tính hệ số của hạng tử chứa$a^p b^q$với$p + q = n$: Hệ số là $\binom{n}{q} a^{p} b^{q}$.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

1. Tìm hệ số của một hạng tử chứa các lũy thừa xác định trong khai triển.
2. Tính tổng các hệ số (không có biến) bằng cách cho$a = 1, b = 1$.
3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hệ số hoặc tổng các giá trị.
4. Khai triển các nhị thức có dấu trừ:$(a - b)^n$bằng cách thay$b$thành$-b$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm hệ số của$x^4y^3$trong khai triển$(x + y)^7$

Lời giải:

1. Xác định$n = 7$,$a = x$,$b = y$.
2. $x^4y^3$xuất hiện khi$k = 3$(lũy thừa của$y$).
3. Hệ số là $\binom{7}{3} = 35$.
4. Vậy hệ số của$x^4 y^3$là $35$.

Bài tập 2: Tìm tổng các hệ số trong khai triển$(3x - 5y)^8$

Lời giải:

1. Tổng các hệ số là giá trị khai triển khi$x = 1, y = 1$.
2. Vậy tổng các hệ số là $(3 \times 1 - 5 \times 1)^8 = (-2)^8 = 256$.

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Khai triển hoàn chỉnh$(x + 2y)^4$.
• Bài 2: Tìm hệ số của$x^2 y^3$trong khai triển$(2x - y)^5$.
• Bài 3: Tính tổng các hệ số trong khai triển$(1 - 3x)^6$.
• Bài 4: Tìm hệ số của$x^3$trong khai triển$(2 + x)^5$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Xác định đúng vị trí của hạng tử cần tìm (chỉ số $k$phù hợp).
• Chú ý dấu âm khi khai triển$(a - b)^n$(đặc biệt với lẻ hay chẵn).
• Thực hiện phép tính tổ hợp dễ bị nhầm lẫn, nên viết rõ công thức và tính từng bước.
• Không quên kiểm tra xem tổng các hệ số bằng giá trị khai triển khi thay$a = 1, b = 1$.