Blog

Chiến lược giải quyết bài toán Phép chia lớp 10: Hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa

T
Tác giả
9 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán phép chia và tầm quan trọng

Phép chia là một trong bốn phép toán cơ bản của toán học, có vai trò nền tảng trong suốt quá trình học toán từ tiểu học đến trung học và cả ở cấp cao hơn. Ở lớp 10, các bài toán về phép chia không chỉ dừng lại ở thực hiện phép tính với số mà còn bao gồm chia đa thức, phân tích tính chia hết, tìm số dư, áp dụng định lý chia, và giải quyết các vấn đề thực tiễn. Việc nắm vững cách giải bài toán phép chia giúp học sinh nâng cao tư duy logic, lập luận chặt chẽ và phát triển khả năng giải quyết vấn đề trong học tập cũng như cuộc sống.

2. Đặc điểm của bài toán phép chia ở lớp 10

Các dạng bài phép chia thường gặp ở lớp 10:

  • Chia số nguyên, chia đa thức cho đa thức
  • Xác định tính chia hết và tìm số dư trong phép chia
  • Sử dụng định lý Đa thức dư và Định lý Bezout
  • Giải các bài toán về tìm giá trị tham số để chia hết

Các bài toán này mang đặc điểm: yêu cầu vận dụng hiểu biết về chia hết, các quy tắc chia (với số nguyên, đa thức…), tư duy phân tích và khả năng trình bày lập luận logic.

3. Chiến lược tổng thể giải quyết bài toán phép chia

Dưới đây là chiến lược tổng quát, áp dụng cho hầu hết các bài toán phép chia trong chương trình lớp 10:

  1. Nhận diện loại chia (chia số nguyên, chia đa thức, chia có dư…) và đối tượng phép chia
  2. Xác định yêu cầu của bài toán (chia hết, số dư, điều kiện tham số…)
  3. Vận dụng các định lý, công thức và kỹ thuật phù hợp để giải quyết
  4. Tính toán, phân tích từng bước tỉ mỉ và kiểm tra điều kiện bài toán

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Cùng tìm hiểu chi tiết cách giải bài toán phép chia qua các ví dụ sau:


Ví dụ 1: Thực hiện phép chia số nguyên

Chiaa=39a = 39chob=5b = 5. Tìm thương và số dư.

Giải:

Áp dụng quy tắc phép chia có dư:a=bq+ra = bq + r(0r<b0 \leq r < b)

Thực hiện:39=5×7+439 = 5 \times 7 + 4. Vậy, thươngq=7q = 7, số dư r=4r = 4.


Ví dụ 2: Chia đa thức cho đa thức

Chia đa thứcA(x)=x3+3x2+x+2A(x) = x^3 + 3x^2 + x + 2choB(x)=x+1B(x) = x + 1.

Giải:

Ta sử dụng phép chia đa thức:

Bước 1: Xác định phép chia:A(x)=B(x)Q(x)+R(x)A(x) = B(x) Q(x) + R(x), vớiR(x)R(x)là đa thức bậc nhỏ hơn bậc củaB(x)B(x).

Bước 2: Tiến hành chia bình thường:

Chiax3x^3choxx, đượcx2x^2. Nhânx2(x+1)=x3+x2x^2(x + 1) = x^3 + x^2. Trừ:A1(x)=(x3+3x2+x+2)(x3+x2)=2x2+x+2A_1(x) = (x^3 + 3x^2 + x + 2) - (x^3 + x^2) = 2x^2 + x + 2.

Chia2x22x^2choxx, được2x2x. Nhân2x(x+1)=2x2+2x2x(x + 1) = 2x^2 + 2x. Trừ:A2(x)=(2x2+x+2)(2x2+2x)=x+2A_2(x) = (2x^2 + x + 2) - (2x^2 + 2x) = -x + 2.

Chiax-xchoxx, được1-1. Nhân1(x+1)=x1-1(x + 1) = -x - 1. Trừ:A3(x)=(x+2)(x1)=3A_3(x) = (-x + 2) - (-x - 1) = 3.

VậyA(x)=(x+1)(x2+2x1)+3A(x) = (x + 1)(x^2 + 2x - 1) + 3.

Thương là Q(x)=x2+2x1Q(x) = x^2 + 2x - 1, số dư R(x)=3R(x) = 3.


Ví dụ 3: Tìm tham số để đa thức chia hết

ChoA(x)=x3+ax2+bx+6A(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6. Tìma,ba, bđểA(x)A(x)chia hết chox1x - 1x2x - 2.

Giải:

Theo định lý Đa thức dư (Định lý Bezout),A(1)=0A(1) = 0,A(2)=0A(2) = 0.

Thayx=1x = 1:A(1)=1+a+b+6=0a+b=7A(1) = 1 + a + b + 6 = 0 \rightarrow a + b = -7.

Thayx=2x = 2:A(2)=8+4a+2b+6=04a+2b=14A(2) = 8 + 4a + 2b + 6 = 0 \rightarrow 4a + 2b = -14

Giải hệ:
a+b=7a + b = -7(1)
4a+2b=144a + 2b = -14(2)

Từ (1):b=7ab = -7 - a. Thay vào (2):
4a+2(7a)=144a + 2(-7 - a) = -14
4a142a=144a - 14 - 2a = -14
2a=0a=02a = 0 \rightarrow a = 0,b=7b = -7

Vậya=0a = 0,b=7b = -7.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Phép chia có dư (số nguyên):a=bq+r, 0r<ba = bq + r, \ 0 \leq r < |b|
  • Chia đa thức A(x)=B(x)Q(x)+R(x)A(x) = B(x)Q(x) + R(x) , bậc(R(x))<bậc(B(x))\text{bậc}(R(x)) < \text{bậc}(B(x))
  • Định lý Đa thức dư:A(a)=RA(a) = Rlà số dư củaA(x)A(x)khi chia choxax - a
  • Định lý Bezout:A(x)A(x)chia hết choxax - akhi và chỉ khiA(a)=0A(a) = 0

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Nếu đề bài yêu cầu chia hết cho nhiều đa thức tuyến tính, biến hệ điều kiện thành hệ phương trình tương ứng.
- Nếu tìm số dư khi chia cho đa thức bậc cao hơn bậc 1, dùng phép chia đa thức thông thường.
- Nếu cần kiểm tra chia hết cho đa thức bậc hai, có thể thử nghiệm các giá trị hoặc biến đổi hệ thức cho phù hợp.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán: Chia đa thứcA(x)=x42x3+3x2x+5A(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - x + 5choB(x)=x21B(x) = x^2 - 1, xác định thương và số dư.

Giải:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức:
Bậcx4x^4chiax2x^2 đượcx2x^2:x2(x21)=x4x2x^2(x^2 - 1) = x^4 - x^2. Trừ:(x42x3+3x2x+5)(x4x2)=2x3+4x2x+5(x^4 - 2x^3 + 3x^2 - x + 5) - (x^4 - x^2) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5.

Tiếp tục:2x3:x2=2x-2x^3: x^2 = -2x.2x(x21)=2x3+2x-2x(x^2 - 1) = -2x^3 + 2x. Trừ:(2x3+4x2x+5)(2x3+2x)=4x23x+5(-2x^3 + 4x^2 - x + 5) - (-2x^3 + 2x) = 4x^2 - 3x + 5.

4x2:x2=44x^2: x^2 = 4.4(x21)=4x244(x^2 - 1) = 4x^2 - 4. Trừ:4x23x+5(4x24)=3x+94x^2 - 3x + 5 - (4x^2 - 4) = -3x + 9.

3x+9-3x + 9bậc nhỏ hơnx21x^2 - 1, dừng chia.

Vậy:
- ThươngQ(x)=x22x+4Q(x) = x^2 - 2x + 4
- Số dư R(x)=3x+9R(x) = -3x + 9

8. Bài tập thực hành tự luyện

  • Chia5353cho77, xác định thương và số dư.
  • Tính số dư của đa thứcA(x)=x32x2+x3A(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3khi chia chox+2x + 2.
  • TìmmmđểB(x)=x3+mx+4B(x) = x^3 + mx + 4chia hết chox+1x + 1.
  • Chiax3+x2x+1x^3 + x^2 - x + 1chox1x - 1, xác định thương và số dư.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra kỹ điều kiện bài toán: yêu cầu chia hết hay tìm số dư.
  • Không bỏ qua bước kiểm tra lại kết quả bằng cách thay ngược lại vào phương trình gốc.
  • Khi chia đa thức, hãy sắp xếp các hạng tử theo thứ tự giảm dần của bậc để tránh nhầm lẫn.
  • Ghi nhớ các định lý (Bezout, đa thức dư) để áp dụng hiệu quả.
  • Tập luyện đều đặn với nhiều dạng bài khác nhau để nhận biết và xử lý linh hoạt.

Danh mục:

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".