Blog

Chiến lược giải quyết bài toán Phép trừ hai vectơ lớp 10: Hướng dẫn chi tiết và bài tập thực hành

T
Tác giả
8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán phép trừ hai vectơ và ý nghĩa thực tiễn

Phép trừ hai vectơ là một nội dung cơ bản trong chương trình Toán lớp 10 và có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học cũng như vật lý. Việc thành thạo cách giải bài toán phép trừ hai vectơ giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho các chuyên đề sâu hơn như hình học giải tích, chuyển động, lực và khai thác các bài toán thực tế liên quan đến định hướng, độ lớn, và vị trí.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán phép trừ hai vectơ

Phép trừ hai vectơ a\vec{a}b\vec{b}chính là phép cộng vectơ a\vec{a}với vectơ đối (vectơ có cùng độ lớn nhưng ngược hướng) củab\vec{b}. Ký hiệu:

ab=a+(b)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

Về mặt hình học, phép trừ hai vectơ tương đương nối đầu mút của hai vectơ theo nguyên tắc cộng và vẽ vectơ từ đầu củab\vec{b} đến đầu củaa\vec{a}khi cả hai xuất phát từ cùng một điểm. Khi làm bài toán, học sinh thường gặp các dạng yêu cầu tính tọa độ, vẽ hình biểu diễn hoặc xác định độ lớn, hướng của vectơ hiệu.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán phép trừ hai vectơ

Chiến lược giải quyết dạng bài tập này từ cơ bản đến nâng cao gồm các bước:

  • Nhận diện đề bài yêu cầu phép trừ hai vectơ và xác định loại bài (tọa độ hay hình vẽ).
  • Nếu ở dạng tọa độ, áp dụng công thức trừ từng thành phần.
  • Nếu ở dạng hình học, vận dụng phép cộng vectơ, biểu diễn và quy tắc hình bình hành hoặc tam giác.
  • Vẽ hình trực quan nếu cần để xác định hướng, độ lớn.
  • Kiểm tra lại độ lớn và hướng của vectơ kết quả.

4. Các bước giải bài toán chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa 1 (dưới dạng tọa độ):

Cho hai vectơ a=(2;5)\vec{a} = (2; 5)b=(4;1)\vec{b} = (4; 1). Tìm vectơ ab\vec{a} - \vec{b}.

  1. Bước 1: Viết tọa độ từng vectơ:
  2. a=(2;5), b=(4;1)\vec{a} = (2; 5),\ \vec{b} = (4; 1).
  3. Bước 2: Dùng công thức trừ từng thành phần:
  4. ab=(24;51)=(2;4)\vec{a} - \vec{b} = (2-4; 5-1) = (-2; 4).
  5. Bước 3: Diễn giải kết quả, kiểm tra lại.

Vectơ kết quả có tọa độ (2;4)(-2; 4).

Ví dụ minh họa 2 (dưới dạng hình học):

Cho hai vectơ u\vec{u}v\vec{v}trùng gốc tại điểmAABB. Biểu diễn vectơ uv\vec{u} - \vec{v}bằng quy tắc hình học.

  1. Vẽ hai vectơ u\vec{u},v\vec{v}cùng gốc.
  2. Vẽ vectơ đốiv-\vec{v}cùng gốc.
  3. Dùng quy tắc hình bình hành (hoặc tam giác): từ gốc điểm, vẽ liên tiếp vectơ u\vec{u}rồi vectơ v-\vec{v}.

Kết quả: Vectơ uv\vec{u} - \vec{v}là vectơ đi từ đầuv\vec{v} đến đầuu\vec{u}khi trùng gốc.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức trừ hai vectơ theo tọa độ: Nếua=(x1;y1)\vec{a} = (x_1;y_1),b=(x2;y2)\vec{b} = (x_2;y_2)thì ab=(x1x2;y1y2)\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)
  • Công thức độ lớn của vectơ: Nếu c=(a;b)\vec{c} = (a;b)thì c=a2+b2|\vec{c}| = \sqrt{a^2 + b^2}
  • Vectơ đối:a-\vec{a}ngược hướng và cùng độ lớn vớia\vec{a}.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • Phép trừ vectơ trong không gian 3 chiều: Áp dụng công thức trừ tương ứng từng thành phần(x,y,z)(x, y, z). Ví dụ:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)    ab=(x1x2,y1y2,z1z2)\vec{a}=(x_1, y_1, z_1),\vec{b}=(x_2, y_2, z_2) \implies \vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)
  • Dạng bài toán liên quan đến hình học phẳng: Kết hợp ý nghĩa hình học của vectơ hiệu để giải các bài toán vị trí, khoảng cách.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu:

Cho hai điểmA(1;2)A(1;2)B(4;7)B(4;7),C(2;3)C(-2;-3). Tìm tọa độ vectơ ABAC\vec{AB} - \vec{AC}.

  1. Tính tọa độ AB=(41;72)=(3;5)\vec{AB} = (4-1; 7-2) = (3; 5).
  2. Tính tọa độ AC=(21;32)=(3;5)\vec{AC} = (-2-1; -3-2) = (-3; -5).
  3. Tính hiệu:ABAC=(3(3);5(5))=(6;10)\vec{AB} - \vec{AC} = (3-(-3); 5-(-5)) = (6; 10).
  4. Tọa độ vectơ cần tìm là (6;10)(6; 10).

8. Bài tập thực hành

Hãy tự giải các bài sau (liệt kê dạng cơ bản đến nâng cao):

  • Bài 1: Choa=(5;2)\vec{a} = (5; -2)b=(2;4)\vec{b} = (2; 4). Tínhab\vec{a} - \vec{b}.
  • Bài 2: Cho ba điểmA(1;1)A(1;1),B(3;2)B(3;2),C(1;5)C(-1;5). TínhABAC\vec{AB} - \vec{AC}.
  • Bài 3: Chox=(4;1;6)\vec{x} = (4;1;6)y=(2;7;2)\vec{y} = (2;7;-2). Tínhxy\vec{x} - \vec{y}trong không gian 3 chiều.
  • Bài 4: Vẽ hai vectơ a\vec{a},b\vec{b}cùng gốc, biểu diễnab\vec{a} - \vec{b}bằng quy tắc tam giác.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm thường gặp

  • Luôn kiểm tra lại phép trừ từng thành phần (không bị nhầm dấu).
  • Cẩn trọng khi chuyển đổi thành vectơ đối, nhớ đảo dấu đúng.
  • Khi vẽ, chú ý đến hướng của các vectơ đối.
  • Dùng hình vẽ để kiểm tra trực quan nếu bài yêu cầu tìm hướng hoặc vị trí vectơ hiệu.

10. Kết luận

Thành thạo cách giải bài toán phép trừ hai vectơ là kỹ năng nền tảng và rất hữu ích cho chương trình Toán 10 cũng như các kỳ thi và các chuyên đề nâng cao sau này. Học sinh nên luyện tập thường xuyên các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao, kết hợp hình học và tọa độ để tăng hiệu quả ghi nhớ và ứng dụng.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".